Розглянемо задачу, для розв’язання якої використовується аналітичні елементарні методи.
Задача 18. В правильній трикутній піраміді SABC (S - вершина) довжина ребероснови рівна 6, а довжина висоти піраміди SH рівна . Через точку В перпендикулярно до прямої АS проходить площина, яка перетинає відрізок SHв точці О. Точки Р і Qрозміщені на прямих АSі СВ відповідно так, що пряма РQ дотикається до сфери радіуса з центром в точці О.
Знайти найменшу довжину відрізка РQ.
Розв’язання.
В правильній піраміді SАВС прямі SА і ВС перпендикулярні. LM - спільний перпендикуляр SА і ВС, розміщений в площині SАH (мал. 5. а)), при цьому точка L – середина ВС. Очевидно, що LM перетинає SH в тій же точці О, що й площину, яка проходить через В перпендикулярно SА. Ця площина є ВСМ.
В трикутнику SLА маємо:
LА = 3 , HА = 2, LM = , SH = .
Якщо ÐSAH = , то tg = = .
Тоді LM = LAxsin = = ,
LO = LM/sin = .
Нехай QL = х, РМ = у. Розглянемо прямокутний паралелепіпед з ребрами QL, LMiMP (мал. 5. б)).
В трикутнику QOP маємо QO = , OP = , QP = .
Висота ОМ, проведена з О на QP, рівна (за умовою QP дотикається до сфери радіуса з центром О).
Маємо QN =
Оскільки QN + NP = QP, то .
Після перетворення отримаємо х2у2 + 5у2 +2х2 = 6.
При цій умові потрібно визначити мінімум .
Маємо у2 = е2 – х2 – 15, тому х2(е2 – х2 – 15) + 5(е2 – х2 – 15) + 2х2 – 6 = 0, або х4 + (18 – е2) х2 + 18 – 5е2 = 0.
Отримане рівняння має розв’язок при е2 ≥ (81/5), оскільки при е2 < (81/5) всі доданки лівої частини невід’ємні, а останній доданок додатній.
При е2 = (81/5) знаходимо х = 0, у = , значить, е = і є шукане найменше значення PQ.
Задача 19. В основі чотирикутної піраміди лежить прямокутник, одна сторона якого рівна а, бічні ребра піраміди рівні в.
Знайти найбільше значення об’єму піраміди.
Розв’язання.
Позначимо через х – довжину двох інших сторін прямокутника, який лежить в основі піраміди.
Для обчислення об’єму піраміди скористаємось такою формулою V = 1/3 Sосн * H, де Sосн – площа основи піраміди рівна Sосн = х * а. Знайдемо висоту піраміди.
Запишемо АВ = СД = а; АД = ВС = х.
Розглянемо ∆ДSС. Проведемо висоту SKдо сторони ДС. Розглянемо ∆СКS, який є прямокутним. Згідно теореми Піфагора SK2 = SC2 – CK2, тобто SK2 = b2 – (a2/4).
Розглянемо ∆КОS, він прямокутний. За теоремою Піфагора запишемо: SO2 = SK2 – OK2, тобто SO2 = b2 – (a2/4) – (x2/4).
Обчислимо об’єм піраміди.
V =
Об’єм піраміди є найбільшим при х = і рівний
Література
1. І.Ф.Шаригін, В.І.Голубєв. Факультативний курс з математики, Москва, 1991. – 253с.
2. Збірник науково-популярних статей. У світі математики. Київ, 1979. – 312с.
3. Збірник задач з математики для вступників у ВУЗи. Під редакцією М.І.Сканаві. Москва, 1992. – 432с.