Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характерис (стр. 1 из 2)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Езаова А.Г.

Кафедра теории функций.

Кабардино-Балкарский государственный университет

В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа. Поставленная задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана-Векуа редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода.

Рассмотрим уравнение

(1)

где m – натуральное число в конечной односвязной области

, ограниченной отрезками прямых соответственно – и характеристиками:

уравнения (1).

Пусть

; – интервал прямой ;

– аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при

, выходящих из точки , с характеристиками и соответственно;

(2)

(3)

– операторы дробного интегрирования порядка -

при и обобщенные в смысле Лиувилля производные порядка при , причем

где

– единичный оператор, а – целая часть .

Под регулярным в области

решением уравнения (1) будем понимать функцию , удовлетворяющую уравнению (1) в , и такую, что может обращаться в бесконечность порядка ниже на концах А и В интервала I.

Задача Н

. Найти регулярное в области решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

, (4)

, (5)

где

,

(5`)

. (6)

Пусть существует решение задачи

. Тогда, регулярное решение уравнения (1) в гиперболической части , удовлетворяющее данным Коши , дается формулой [1]:

(7)

Удовлетворяя (7) краевому условию (5), получим функциональное соотношение между функциями

и , принесенное на из [2]:

, (8)

где

(9)

Из постановки задачи Н

следует, что функция непрерывна в области . Поэтому, переходя к пределу при в уравнении (1) и учитывая граничные условия (4), получим:

, (10)

. (11)

Решая задачу (10), (11) относительно

, окончательно получим функциональное соотношение между функциями и , принесенное из области на :

(12)

Подставляя в (9) вместо функции

её выражение (12), получаем :

где

.

Используя формулу Дирихле перестановки порядка интегрирования, перепишем равенство (13) в виде:

(14)

Следуя [2], преобразуем интегралы:

, , ,

, .

В интегралах

сделаем подстановки

1)

; 2) ; 3) ;

4)

; 5)

соответственно. В результате получим равенства:

,