Обратные тригонометрические функции (стр. 5 из 6)
Итак, исходное уравнение можно записать в виде:
Если
то уравнение принимает вид: 
что невозможно.Если
то и в этом случае уравнение 
решений не имеет, поскольку 
для 
Ответ: нет решений.
Задача 9. Решить уравнение
Решение:
Из полученной системы следует, что
то есть 
и 
- числа одного знака. Действительно, если 
то 
и 
Если же
то из неравенств сразу следует, что 
и 
Следовательно, если 
то уравнение решений не имеет.Если
то уравнение также решений не имеет, так как 
Пусть
и хотя бы одно из чисел не равно нулю. Тогда получим, что 
Учитывая ограничения системы, получаем, что если
и хотя бы одно из чисел не равно нулю, то 
Если же
и хотя бы одно из чисел не равно нулю, то 
Ответ: если
то уравнение решений не имеет; если то уравнение решений не имеет; если и хотя бы одно из чисел не равно нулю, то 
если и хотя бы одно из чисел не равно нулю, то Задача 10. Решить систему уравнений
Решение: Используя формулы группы 2, получим:
Обращаясь к методам алгебраических систем уравнений, получим, что
и 
являются корнями квадратного уравнения 
Получим
Ответ:
2.3. Вычисление значений обратных тригонометрических функций
Пример 1. Найдите
если 
Решение: Оценим
если Имеем
или 
Следовательно,
где
Окончательно получаем 
Ответ:
Пример 2. Докажите, что если
то 
Решение: При
оба арксинуса существуют. Для первого это очевидно, а для второго имеем 
Следовательно,
и, тем более,
Введем обозначение
Нужно доказать, что
или 
Так как 
то 
и 
лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому, если мы докажем, что синусы этих аргументов равны, то тем самым будет доказано и равенство самих аргументов. Поскольку 
(перед корнем взят знак плюс, так как
при 
).Итак, доказано, что
откуда следует справедливость равенства.Пример 3. Докажите, что выражение
не зависит от 
, если 
и упростите его в этом случае.Решение: Так как
то 
Введем обозначения 
т.е. 
Следовательно,
т.е. данное выражение лежит в интервале монотонности синуса. Найдем
так как 
После подстановки получим
т.е.
Ответ:
