Кривые на плоскости (стр. 2 из 3)
· в прямоугольной декартовой системе координат:
Фокусы лемнискаты — F1( − c;0) и F2(c;0). Возьмём произвольную точку M(x;y). Произведение расстояний от фокусов до точки M есть
,и по определению оно равно c2:
Возводим в квадрат обе части равенства:
Раскрываем скобки в левой части:
Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:
Выносим общий множитель и переносим:
Далее можно сделать замену a2 = 2c2, хотя это не обязательно:
В данном случае a — радиус окружности, описывающей лемнискату.
Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
Возводим в квадрат и раскрываем скобки:
Приводим к виду
Это квадратное уравнение относительно y2. Решив его, получим
Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:
где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.
·в полярной системе координат:
Используя формулы перехода к полярной системе координат
получим:
Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождествоsin2α + cos2α = 1:
Используем ещё одно тождество: cos2α − sin2α = cos2α:
Делим на ρ2, предполагая, что
: 
\Как и в случае прямоугольной системы можно заменить a2 = 2c2:
Плотность точек кривой при равномерном изменении параметра
· Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
, где 
Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от
до 
. При этом, когда параметр стремится к , точка кривой стремится к (0;0) из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.Свойства
Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при a = c, синусоидальной спирали с индексом n = 2 и лемнискаты Бута при c = 0, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.
Свойства от овала Кассини
· Лемниската — кривая четвёртого порядка.
· Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
· Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
· Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
· Лемнискату описывает окружность радиуса
, поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.Свойства от синусоидальной спирали
· Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.
· Касательные в двойной точке составляют с отрезком F1F2 углы
.· Угол μ, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен
.· Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
· Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
· Радиус кривизны лемнискаты есть
Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали:
при m = 2,однако, легко вывести и по определению.
Уравнение лемнискаты в полярной системе:
Формулы перехода к полярной системе координат:
Выражаем
: 
Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем x и y:
—- это параметрическое уравнение относительно
. Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно 
, указанное выше в разделе Уравнения.Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически:
Находим производные по
: 
Подставляем в формулу радиуса:
Возвращаемся к уравнению лемнискаты:
Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем:
·Натуральное уравнение кривой имеет вид
· Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль
· Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.
Собственные свойства:
Гравитационное свойство лемнискаты
· Кривая является геометрическим местом точек, симметричных с центром равносторонней гиперболы относительно её касательных.
· Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиус-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
· Материальная точка, движущаяся по кривой под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду. При этом ось лемнискаты составляет угол
с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.· Площадь полярного сектора
, при 
: 