Криволинейный интеграл первого и второго рода (стр. 1 из 2)

Криволинейный интеграл первого рода

Криволинейный интеграл второго рода

1. Задача приводящая к понятию криволинейного интеграла.

Определение криволинейного интеграла по координатам.

2. Свойства криволинейного интеграла (рис. 1).

3. Вычисления

а)

б)

Рис. 1

Займемся обобщением понятия определенного интеграла на случай

когда путь интегрирования – кривая -кривая , , . Т/н. А-работу силы при перемещении точки от к

1. Разобьем на n частей

:

Обозначим

вектор- хорда дуге.

Пусть

предположим, что на тогда

Работа

вдоль дуги вычисляется как скалярное произведение векторов и

Пусть

Тогда:

Работа

Если

, то этот предел примем за работу А силы при движении точки по кривой от точки до точки

, -не числа, а точки концы линии .

1. Свойства:

1⁰

определяется

а) подынтегральным выражением

б) формой кривой интегрирования.

в) указанием направления интегрирования (рис. 2).

Рис. 2

-можно рассматривать как интеграл от векторной функции

Тогда

- если -замкнутая то -называют циркуляцией вектора по контуру .

3⁰

4⁰

не зависит от того какую точку взять за начало

Вычисление криволинейного интеграла

Криволинейные интегралы вычисляются сведением их к обыкновенным интегралам по отрезку прямой (рис. 3).

Рис. 3

-гладкая кривая.

1. Если

-непрерывны, -непрерывные.

-непрерывны по , то

Пределы А и В не зависят ни от способа деления

на , ни от вектора

Следовательно:

.

2. В случае:

1. Формула Грина.

2. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

3. Полный дифференциал.

Связь между определенным и криволинейным интегралами.

Пусть дано область D, замкнутая, ограниченная линией

(рис. 4).

интеграл криволинейный грин формула

Рис. 4

непрерывны на

- определена и непрерывна в замкнутой области D.

- определена и непрерывна в замкнутой области D. Тогда

Аналогично

-Формула Грина.

В частности: вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла.