Числа е та пі (стр. 3 из 9)

(1.2.2)

Доведення. Якби

було раціональним, то по теоремі (1.2.2) найшлося б , таке, що для будьякого дробу виконувалася б нерівність (1.2.1), а це суперечить тому, що відповідно до наших умов для цього існує таке, що має місце нерівність (1.2.2). Припущення, що раціональне число, привело нас до протиріччя, значить ірраціональне.

Приклад 1.2.2. Довести ірраціональність числа

:

Візьмемо довільне

й виберемо настільки великим, щоб було .Покладемо,

, .

і цілі числа . При таких і

,

так, що

ірраціональне.

Теорема 1.2.4. Якщо при деякому

розкладанні в систематичний дріб з підставою системи числення рівним , містить як завгодно довгі кінцеві ланцюжки , що складаються з однієї й тої ж цифри, то ірраціональне число.

Інакше кажучи , якщо в розкладанні

для кожного

найдуться , причому й , те ірраціональне.

Доведення. Якби

було раціональним, то розкладання в систематичний дріб з підставою було б періодичним. Таке розкладання не може мати однієї цифри в періоді, тому що для незліченної множини . Припущення ж, що період складається з декількох цифр, також суперечить нашим умовам , тому що в цьому випадку не могли б існувати ланцюжка з однієї цифри довжиною більше, ніж число цифр у періоді.

Приклад 1.2.3.Число

, записуєме в десятковій системі счислення у вигляді

іраціональне.

Введемо визначення трансцендентності чисел.

Означення 1.2.2 Будьяке неалгебраїчне число називається трансцендентним.

Таким чином,

називається трансцендентним числом, якщо не існує жодного багаточлена із цілими коефіцієнтами, коренем якого є , тобто для всіх ,¥ при будьякому комплексі цілих, не рівних одночасно нулю чисел маємо

1.3 Доведення ірраціональності та трансцендентності числа „π”

Доведемо ірраціональність і транcцендентність числа

.

Теорема 1.3.1.Число

ірраціональне.

Доведення. Припустимо, що

раціонально, тобто , де й натуральні числа. При збільшенні величина ; тому можна знайти таке . що виконується нерівність

(1.3.1)

Розглянемо для такого

функцію

(1.3.2)

Заміняючи

через і розкладаючи по ступенях , можна представити у вигляді:

(1.3.3)

так що

. Якщо рівність 1.3.3 продифференціювати разів, де , то одержимо:

Біноміальний коэфициент

ціле число, так що цілі числа.

З рівності 1.3.2 видно, що

, так що диференцируючи, одержуємо для всіх

,

і отже,

, цілі числа.

Інтегруючи

вроздріб, одержуємо:

(1.3.4)

тому що наступна похідна

тотожно дорівнює нулю.

З рівності (1.3.4) одержуємо:

(1.3.5)

де

ціле число.

Оскільки в інтервалі

подінтегральна функція позитивна, то інтеграл у лівій частині (1.3.5) більше нуля й . З іншого боку, з рівності (1.3.2) видно, що при маємо: