
і оскільки

, то при нашім виборі

маємо:

тобто

.
Припущення, що

раціонально, привело нас до протиріччя, отже ,

ірраціональне.
Теорема доведена.
Ірраціональність числа була доведена вперше в 1761 році французьким математиком Ламбертом. Доказ Ламберта заснований на застосуванні безперервних дробів.
π — трансцендентне число, це означає, що воно не може бути коренем багаточлена із цілими коефіцієнтами. Трансцендентність числа π була доведена в 1882 році професором Кьонінгзбергського, а пізніше Мюнхенського університетуЛіндеманом. Доказ спростив Феликс Клейн в 1894 році.
Для того щоб довести трансцендентність числа π доведемо спочатку три допоміжних твердження.
Лема 1.3.1. При будьякому цілому позитивному

й будьякому

, має місце рівність

(1.3.6)
де

Доведення. Скористаємося розкладанням функції

в ряд

Із цього розкладання треба, щоб

де

Тому що

Лема доведена.
Лема 1.3.2 Нехай

де

Тоді

(1.3.7)
де

(1.3.8)

(1.3.9)
Покладаючи в рівності (1.3.6)
, одержимо

Помноживши ці рівності, відповідно, на

й склавши, одержимо рівність (1.3.7).
Лема 1.3.3. Сума й добуток двох алгебраїчних чисел є числами алгебраїчними (і притім цілими алгебраїчними, якщо такими є доданки й множники).
Доведення. Дійсно нехай

алгебраїчне число, що є коренем рівняння

ого ступеня з раціональними коефіцієнтами

й інших корінів цього рівняння й нехай

– алгебраїчне число , що є коренем рівняння

ой ступеня з раціональними коефіцієнтами , а

– інших корінів цього рівняння.
Добуток всіх різниць виду

, мабуть, є багаточленом, одним з корінів якого є

. Отже, нам досить переконатися в тім, що коефіцієнти цього багаточлена суть раціональні числа. Але ці коефіцієнти суть симетричні функції від аргументів

і аргументів

. Застосовуючи двічі теорему про симетрію функції (“Якщо симетрична функція

є багаточленом і

корінь рівняння

те

де

багаточлен. Зокрема, якщо коефіцієнти багаточлена

цілі числа , то коефіцієнти багаточлена

теж цілі числа ” [9], ми переконаємося в справедливості нашого твердження про добуток алгебраїчних чисел. Аналогічно доводиться твердження про суму
Тепер перейдемо до доказу самої теореми, що

транcцендентне число.
Теорема.

транcцендентне число.
Доведення. Нехай

алгебраїчне число . На підставі леми 1.3.3 число

теж алгебраїчне й отже, єкорнем рівняння виду

(1.3.10)
з цілими коефіцієнтами. Нехай

корінь цього рівняння , одним з них є

. Тому що

, то

(1.3.11)
Розкривши дужки в лівій частині цієї рівності , одержимо

(1.3.12)
Позначимо через

ті з показників

, які відмінні від нуля , а через

інші. Приєднавши відповідні доданки в лівій частині (1.3.12) до першого, можемо записати рівність (1.3.12) у вигляді

(1.3.13)
де

ціле позитивне число.
Числа

суть цілі алгебраїчні числа, тому згідно лемі (1.3.3) цілими алгебраїчними числами є й числа

Дуже важливо помітити , що якщо

симетричний багаточлен із цілими коефіцієнтами , те

ціле число
Дійсно, якщо

то буде також

тому що кожна із сум, що коштують у правій частині другої рівності, відрізняється від відповідної суми першої рівності, що складаються або рівними

або утримуючого цього числа як множники, а числа

дорівнюють нулю.
Вираз в правій частині останньої рівності є симетричним багаточленом відносно

й отже , відносно

. На підставі теореми [20]: “Якщо

симетричний багаточлен із цілими коефіцієнтами й

корінь уранения

із цілими коефіцієнтами, тj

ціле число ” , треба, щоб

було цілим числом.