Числа е та пі (стр. 5 из 9)

Покладемо в рівності (1.3.7) , послідовно

, і складемо результати , помноживши попередньо перші з них на .Одержимо на підставі (1.3.13)

(1.3.14)

Якщо ми доведемо, що для деякого багаточлена

рівність (1.3.14) неможлива, якщо алгебраїчні числа, то тим самим буде доведена трансцендентність .

Покладемо

(1.3.15)

де

просте число, що залишається поки невизначеним. Багаточлен (1.3.15) можна представити у видах

(1.3.16)

Перше з рівностей (1.3.16) безпосередньо отримане з рівності (1.3.15), якщо в правій його частині розкрити дужки. При цьому одержимо

Добуток у правій частині симетричний й тому

ціле число. Такі ж, легко зміркувати є й числа .

Друге з рівностей (1.3.16) виходить із рівності (1.3.15) якщо записати його у вигляді

і звільнитися від квадратних дужок. Аналогічно виходить третє з рівностей (1.3.16) і так далі. Важливо помітити, що

…є багаточленами із цілими коефіцієнтами відносно

Легко підрахувати, що

(1.3.17)

(1.3.18)

Сума

є симетричним багаточленом із цілими коефіцієнтами й тому є цілим числом. Це число, через (1.3.13) , ділиться на

.

Ми будемо вважати

більшим кожного із цілих чисел . Тоді

буде цілим числом, яке не ділится на

, тому що таким буде перший доданок у правій частині, у той час, як інші доданки будуть цілими числами, що діляться на . Таким чином, сума, що визначена в першій частині рівності (1.3.14), при нашому виборі числа , є цілим числом, що не ділиться на , тобто є відмінним від нуля цілим числом.

Повернемося до розгляду суми

З рівності (1.3.9) , першої рівності (1.3.16) і того , що

легко доглянути, що

буде по модулі меншим одиниці, при досить великому .

Таким чином, права частина рівності (1.3.14) є сумою цілого, відмінного від нуля, числа й числа, по модулі меншого одиниці. Така сума не може рівнятися нулю й тому рівності (1.3.14), при нашім виборі

й , неможливі. Цим і завершений доказ трансцендентності числа .

Теорема доведена.

1.4 Доведення ірраціональності та трансцендентності числа „е”

Доведемо ірраціональність і трансцендентність числа

.

Теорема 1.4.1.Число

ірраціональне.

Доведення. Припустимо, що

, де й натуральні числа.Відомо, що

Із

треба, що ( ) – було ціле число, тоді цілим буде й число [9]

Ми одержуємо звідси

,

Тобто між 0 і 1 лежить ціле число. Припущення, що

раціональне, привело нас до протиріччя, значить ірраціональне.

Теорема доведена.

Другий шлях доказу ірраціональності e [23].

Припустимо, що

раціонально. Тоді , де — ціле, а — натуральне, звідки

Множачи обидві частини рівняння на

, одержуємо

Переносимо

в ліву частину:

Всі доданки правої частини цілі, отже:

— ціле

Але з іншої сторони

Знов одержуємо протиріччя.

Трансцендентність

була доведена тільки в 1873 році французьким математиком Шарлем Ермітом [22].

Теорема 1.4.2. Число

трансцендентно.

Доведення. Припустимо, що

корінь багаточлена із цілими коефіцієнтами так що

(1.4.1)

Позначимо через

найбільшу з абсолютних величин коефіцієнтів , так що при всіх маємо .

При заданому

функція при збільшенні прагне до нуля й, оскільки існують які завгодно більші прості числа, ми можемо вибрати просте число так , що будуть одночасно виконуватися умови:

Розглянемо функцію ступеня