Числа е та пі (стр. 6 из 9)
Інтегруючи вроздріб , знаходь :
Продовжимо цей процес, поки не дійдемо до похідної порядку
, рівної тотожно нулю. Одержимо : 
(1.4.2)де
( до похідної порядку 
).Підставляючи в (1.4.2) замість
число 
й множачи на 
, 
, маємо: 
(1.4.3)Надаючи
значення 
та складаючи при рівності (1.4.3) і беручи до уваги , що через тотожність (1.4.2) права частина виходить рівною нулю, знаходимо: 
(1.4.4)Розкладання
по ступенях 
має вигляд : 
, (1.4.5)
де
цілі числа. Одержуємо: 
,а
є ціле число, оскільки 
просте й 
, не ділиться на 
; 
, як легко бачити з (1.4.4), цілі числа, що діляться на ; 
являє собою суму цілого числа 
, що не ділиться на , і інші цілі числа, кратні , так що не є дільником 
.Оскільки 
, те буде також не є дільником 
.Розкладання
по ступенях 
, де 
, має вигляд 
(1.4.6)де всі коефіцієнти
цілі числа.Диференціюючи (1.4.6), легко бачити, що при всіх таких
: 
ціле число , що ділиться на .У сумі
перший доданок не ділиться на
, а всі інші доданки діляться на , так що 
ціле число , що не ділиться на , і , таким чином, відмінне від нуля.Ціле число, відмінне від нуля, має модуль, більший або дорівнюючий одиниці, так що
.Оцінимо тепер величину
зверху. Згідно (1.4.4.): 
У всіх інтегралах, що входять в
, величина 
пробігає значення, що не виходять за межі сегмента 
, а при таких справедлива нерівність: 
так , що при всіх
маємо 
що суперечить отриманій раніше нерівності
.Таким чином, припущення, що
алгебраїчне число, привело нас до протиріччя; отже, 
неалгебраїчне число, тобто трансцендентне число.Теорема доведена.
РОЗДІЛ ІІ
НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЛА „π”
2.1 Методи наближеного обчислення числа „π” за допомогою числових рядів
Число pз'являється не тільки при рішенні геометричних задач. Із часу Ф.Віета (1540–1603) розвідка меж деяких арифметичних послідовностей, що встановлені простими законами, приводило до того ж числа p. У зв'язку із цим у визначенні числа pбрали участь майже всі відомі математики: Ф.Віет, Х.Гюйгенс, Дж.Валліс, Г.В.Лейбніц, Л.Ойлер [21]. Вони одержували різні вирази для pу вигляді нескінченного добутку, суми ряду, нескінченного дробу.
Наприклад, в 1593 Ф.Виет (15401603) вивів формулу [21]
В 1665 Джон Валліс (16161703) довів, що [21]
,
Або
.
Ця формула має його ім'я. Для практичного знаходження числа pвона мало придатна, але корисна в різних теоретичних міркуваннях. В історію науки вона ввійшла як один з перших прикладів нескінченних добутків.
Готфрид Вільгельм Лейбниц (16461716) в 1673 установив наступну формулу [21]:
яка представляє число p/4 як суму ряду. Однак цей ряд сходиться дуже повільно. Щоб обчислити pз точністю до десяти знаків, треба було б, як показав Ісаак Ньютон, знайти суму 5 млрд чисел і затратити на це біля тисячі років безперервної роботи.
Леонарду Ойлеру належать і інші гарні формули рядів повільної східності, що включають p [21]:
,
,
.
В останній формулі в чисельнику розташовані всі прості числа, а знаменники відрізняються від них на одиницю, причому знаменник більше чисельника, якщо той має вигляд 4n + 1, і менше в противному випадку.
Лондонський математик Джон Мэчин (16801751) в 1706, застосовуючи формулу [21]
одержав вираження
arctg 1 = 4 arctg
– arctg 
.Підстановка в нього arctg 1 =
і рядів для arctg x(arctg x =
) приводить до формули 
,