Класична лінійна регресія (стр. 2 из 3)

де c_jj – діагональний елемент j-ї строки (стовпця) матриці

,

- стандартна помилка оцінки j-го параметра моделі.

Якщо t³t_таб , нульова гіпотеза відхиляється і відповідний коефіцієнт регресії є достовірним.

18. На основі t-критерію і стандартної помилки будуються граничні інтервали для оцінок параметрів моделі:

де t_a - табличне значення t-статистики з рівнем довіри a та ступенями свободи n-m.

ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

Нехай маємо змінні:

- середньомісячна зарплата, ум. од.;

- продуктивність праці, ум. од.;

- фондомісткість продукції ум. од;

- виконання норми виробітку,%

Гіпотеза, що пропонується для перевірки - середньомісячна зарплата лінійно залежить від продуктивності праці, фондомісткості продукції та виконання норми виробітку.

Позначимо Y - середньомісячна зарплата, X₁ - продуктивність праці, X₂ - фондомісткість продукції, X₃ - виконання норми виробітку/

Вихідні дані наведено в таблиці.

номер цеху	середньомісячна з/п,Y	Продуктивність праці, X1	ФондомісткістьX2	Норма виробітку, X3
1	45	265	0,2	130
2	42	236	0,04	127
3	50	257	0,3	151
4	55	279	0,2	149
5	40	226	0,1	140
6	70	350	0,1	141
7	56	278	0,25	152
8	57	262	0,03	188
9	55	269	0,15	120
10	53	250	0,32	126

Матриця Х доповнюється стовбцем одиниць для врахування коефіцієнта регресії b₀:

1. Оцінимо параметри регресії за допомогою 1МНК.

Підготуємо необхідні проміжні матриці:

Використовуючи оператор оцінювання МНК, отримуємо

Þ Рівняння регресії має вигляд:

Y = -23,83+0,23X₁+9,018X₂+0,097X₃

Ця модель має бути проаналізована на значущість в цілому (2), а також на значущість кожного коефіцієнта регресії зокрема (3).

2. Перевірка значущості моделі

Значущість всієї моделі в цілому будемо проводити для рівня значущості a=0,05 за допомогою F-крітерія при (m-1) і (n-m) ступенях свободи. Розрахункове значення F-критерію розраховується по формулі:

де

,

Y– спостеріганні значення фактора (вихідні дані),

n – число спостережень,

m – число оцінюваних параметрів.

Нульова гіпотеза для перевірки значущості моделі: Н₀: b₀ = b₁ = …… = b_m= 0.

Проведемо необхідні попередні розрахунки.

Використовуючи вихідну матрицю Х і побудовану модель, отримуємо розрахункові Yp:

Y_p = X*B^Tі залишки е = Y - Y_p :

Сума квадратів відхилень значень регресії від середнього та сума залишків дорівнює:

583,5752 ,

Табличне значення для (m-1), (n-m) F-критерію (0,95) = 4,76. Оскільки F_p>F_табл , модель можна вважати статистично значимою. (нульова гіпотеза відхиляється).

Далі оцінюєтья значущість кожного з параметрів b_j.за допомогою t-статистики.

3. Оцінка значущості окремих коефіцієнтів регресії.

Гіпотезу про значущість кожного з параметрів b_j економетрічної моделі можна виконати за допомогою t-крітерію. Нульова гіпотеза, найбільш поширена притестуванні економетричної моделі - bjнесуттєво відрізняються від 0, тобто H₀: b_j = 0. Поширеність такої постанови нульової гіпотези – в тому, що якщо вона підтверджується, то це має означати, що відповідний X_j статистично незначущо впливає на Y, його вплив з високою вірогідністю дорівнює 0, залежності між Y та Х практично немає і відповідна змінна повинна бути виключена з моделі. Виключенням є випадок, коли при незначущому b_jзалежність між X і Y таки існує, але нелінійна. В цьому випадку треба змінити специфікацію моделі (надати їй іншу аналітичну форму).

Розрахункове значення t-критерію:

де S_bj – стандартна помилка коефіцієнта b_j,

c_jj – діагональний j-й елемент матриці С=

Визначимо значення стандартних помилок коефіцієнтів регресіїS_bj як корінь з дисперсії коефіцієнта b_j:

Для отримання оцінок дисперсії D_j розрахуємо дисперсійно-коваріаційну матрицю (іноді її називають коваріаційною).

Розраховується вона за формулою

,

де

- дисперсія залишків

Матрицю С=

ми маємо.

, де

n – кількість спостережень, n=10

m – кількість оцінюваних параметрів моделі, m=4.

Стандартне відхилення залишків

= 4,912352.

Отримуємо:

=

На діагоналі коваріаційної матриці отримуємо дисперсії коефіцієнтів регресіїb_j:

D(b₀) = 318,9421,

D(b₁)=0,002358,

D(b₂)=272,2121,

D(b₃)=0,007489

Визначимо значення стандартних помилок коефіцієнтів регресіїS_bj:

S_b0 =

= 17,85895,

S_b1 =

= 0,048839,

S_b2 =

= 16,49885,

S_b3 =

= 0,086537

17,85895

0,048839

16,49885

0,086537

S_b =

Розрахункове значення t-статистики отримуємо для кожного коефіцієнта:

t_b0 = b₀ / S_b0 = -23,83/ 17,85895 = -1,33433 і т. п.

-1,33433

4,658181

0,546609

1,121298

t_p =

Розрахункові значення t-статистики порівнюються за абсолютною величиною з табличним t_10-4 = 1,943. Параметр вважається статистично значимим (нульова гіпотеза не підтверджується), якщо

Це означає, що в нашому випадку тільки b₁є статистично значущим і суттєво впливає на модель.

Довірчі інтервали для оцінок регресії будуються за формулою:

b₀ =-23,8298±34,699

b₁ =0,2275±0,0949

b₂ =9,018423±32,0573

b₃ =0,097034±0,1681

:

4. Якість побудованої моделі можна визначити за допомогою коефіцієнта детермінації:

,

Його значення показує, що на 85,8073% варіацію змінної Yможна пояснити варіацією пояснювальних змінних Х.

5. Тіснота зв’язку між Y і X для множинної регресії визначається за допомогою коефіцієнтів кореляції трьох типів:

- коефіцієнта множинної кореляції R (визначається як корінь з коефіцієнта детермінації) – показує тісноту зв’язку між Y і всією множиною пояснювальних зміннихX (1 на модель) ;

- парних коефіцієнтів кореляції r, що знаходяться в кореляційній матриці r* і характеризують тісноту зв’язку між Y та окремим X_j.Вони діляться на два типи:

а) парні коефіцієнти кореляції між Y та окремим X_j

б) парні коефіцієнти кореляції між окремими X_k і X_jr_XkXj(їх для моделі існує m*m);

- частинних коефіцієнтів кореляції, що також характеризують тісноту зв’язку між Y та окремим X_j, але при умові, що інші незалежні змінні сталі, тобто їх варіація не впливає на залежність між Y та Х:

де R_kj – алгебраїчне доповнення до (j,k)-го елемента кореляційної матриці r;