Элементы векторного анализа (стр. 2 из 6)

Глава I. Криволинейные и поверхностные интегралы

§1. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА

Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая L= АВ длиныl. Рассмотрим непрерывную функцию f(x; y), определенную в точках дуги L. Разобьем кривуюL последовательными точками

А₀=А, А₁, А₂, . . . , А_n=В на n дуг

d₁= А₀А₁,d₂= А₁А₂, . . . ,d_n= А_n-1А_n.

На дуге d_iвыберем произвольную точку М_i(t_i;s_i) (i= 1,2, . . . , n) (рис. 1). Обозначим Dl_iдлину дуги d_i , а

Составим интегральную сумму функции f(x,y) по кривой L:

Определение.Предел

, если он существует, называется криволинейным интегралом Iрода от функции f(x; y) по кривой L и обозначается

В случае замкнутой кривой L криволинейный интеграл I рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Основные свойства криволинейного интеграла I рода:

т.е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования.

7˚ Если функцияf(x; y) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой найдетсяточка (x_c; y_c):

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода

Пусть кривая Lзадана параметрическими уравнениями:

x = x(t), y=y (t), a≤ t≤b, где x(t), y (t) - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a,b] функции. Тогда

Пусть кривая Lзадана явно уравнением:

Пусть кривая L задана в полярных координатах:

Геометрические приложения

- Длина кривой АВ вычисляется по формуле

- Площадь цилиндрической поверхностиz=f(x; y)с направляющей АВ и образующей, параллельной Oz, находится

- Масса материальной кривой АВ определяется формулой

- Статистические моменты и координаты центра тяжести кривой АВ определяются по формулам

- Для кривой АВ моменты инерции относительно осей Ox, Oy и начала координат равны:

§2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ II РОДА

Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая L= АВ и функцияP(x; y), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривуюL последовательными точками А₀=А, А₁, А₂, . . ., А_n=В в направлении от точки А к точке В на n дуг d_i= с длинами (i= 1,2, . . . , n). На каждой элементарной дуге d_i возьмем точку ( ; ) и составим сумму вида:

где

проекция дуги d_i на ось Ox (рис.2).

Определение.Если приδ=

интегральная сумма (2.1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек ( ; ), то его называют криволинейным интегралом по координате x (или II рода) от функции P(x; y) по кривой L:

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q(x; y) по координате y:

где

проекция дуги на ось Oy.

Криволинейный интеграл II рода общего вида определяется равенством:

Основные свойства криволинейного интеграла II рода

1˚ При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный:

2˚ Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям:

3˚ Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ox, то

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Oy:

4˚ Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается

не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода

Пусть кривая Lзадана параметрическими уравнениями:

x = x(t), y=y (t), a≤ t≤b, где x(t), y (t) - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a,b] функции. Тогда

Пусть кривая Lзадана явно уравнением:

Геометрические приложения

- Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Oxy и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле

при этом кривая L обходится против часовой стрелки.

- Переменная сила на участке АВ равна