Элементы векторного анализа (стр. 4 из 6)

Векторное поле называется однородным, если

- постоянный вектор (P, Q, R – постоянные величины).

В дальнейшем будем полагать, что скалярные функции: U(x; y; z) – определяющая скалярное поле, P(x; y; z), Q(x; y; z), R(x; y; z) – задающее векторное поле, непрерывны вместе со своими частными производными.

§2. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ

Пусть задано скалярное стационарное поле U = f(M) = f(x; y; z) , где функцию f(x; y; z) будем всегда предполагать непрерывно дифференцируемой в рассматриваемой области.

Основной вопрос исследования скалярного поля есть вопрос об изменении функции U при переходе из одной точки пространства в другую. Для выяснения этого вопроса рассмотрим, прежде всего, геометрическое место точек, в которых величина U сохраняет постоянное значение. Это геометрическое место точек называют поверхностью уровня скалярного поля U. Ее уравнение в выбранной системе координат имеет вид: U(x; y; z) = C, где C = const. Следовательно, изменяя значения C, получаем семейство поверхностей уровня, которые заполняют всю область, где определено поле, и никакие две поверхности уровня, отвечающие различным значениям C, не имеют общих точек.

Задание всех поверхностей уровня с указанием соответствующих значений C равносильно заданию самого поля. Указанный способ изображения поля особенно удобен, если речь идет о поле, заданном в плоской области D двух переменных. В этом случае уравнение U(x,y) = C определяет, вообще говоря, некоторую кривую линию, называемую линией уровня плоского скалярного поля.

Такие линии различных скалярных полей всем хорошо известны: линии равных высот (горизонтали) удобны для изображения размера местности, линии равных температур (изотермы) или линии равных давлений (изобары) в метеорологии и т. д.

Производная скалярного поля по направлению

Производной скалярной функции U = f(x;,y; z) по направлению вектора

M₀(x₀; y₀; z₀) называется предел, если он существует, отношения приращения ΔU₀ функции при смещении из точки M₀(x₀; y₀; z₀) в направлении вектора в точку M₁(x; y; z) к величине этого смещения , когда ρ → 0, то есть

Следовательно,

характеризует скорость изменения величины U в точке M₀ в направлении вектора .

Очевидно, что функция U имеет бесчисленное множество производных по направлениям в каждой точке M. Получим формулу для вычисления производной по направлению. Так как

где величины x₀, y₀ ,z₀, cosα, cosβ, cosγ фиксированы, то U(M₁) есть функция только смещения ρ

Обозначим эту функцию

Приρ = 0 имеемψ(0) = U(x₀, y₀, z₀) = U(M₀). Следовательно:

Т. е. получим формулу:

выражающую производную от функции U = f(x;,y; z) по направлению вектора

Градиент скалярного поля

Пусть задано скалярное поле U = f(x; y; z). Градиентом скалярного поляU = f(x; y; z) в точке M(x; y; z) называют вектор

Если функция U = f(x; y; z) имеет частные производные U'_x, U'_y, U'_z в каждой точке некоторой области, то скалярное поле порождает в этой области векторное поле

. Преобразуем формулу для вычисления производной по направлению:

Угол между векторами

и обозначим через φ, тогда скалярное произведение равно но Значит:

т.е. производная скалярной функции U = f(x; y; z) в точке M в направлении вектора

равна проекции на направление вектора

Из формулы () следует, что, когда направление вектора

совпадает с направлением вектора , производная по направлению имеет своё наибольшее значение, т. е. вектор , вычисленный в точке М, показывает направление наибольшего возрастания скалярного поля, и скорость его возрастания равна

В направлении, перпендикулярном направлению , как это следует из формулы (), , т. е. в этом направлении из точки М поле не меняется.

Вспомним, что, если поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0, нормаль к поверхности в точке M₀(x₀,y₀,z₀) может быть задана уравнением:

Теперь для скалярной функции U = f(x, y, z) построим поверхности уровня f(x, y, z) = C, тогда уравнение нормали к поверхности уровня в точке M₀(x₀, y₀, z₀) запишется:

т.е. имеет направляющий вектор

Следовательно, вектор

есть вектор, перпендикулярный поверхности уровня функции U = f(x, y, z).

Свойства градиента функции:

1˚ Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

§3. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ЦИРКУЛЯЦИЯ

Одной из характеристик стационарного векторного поля служат векторные линии.

Векторной называется линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением векторного поля в данной точке.

Пусть задано векторное поле

тогда вектор

коллинеарен вектору поля

т. е.

Следовательно, уравнение векторных линий поля можно получить, решив систему дифференциальных уравнений:

Найдем работу, которая совершается при перемещении материальной точки М из точки А в точку В вдоль некоторого гладкого контура L под действием непрерывного силового поля (рис. 10).