Элементы векторного анализа (стр. 5 из 6)
Контур L разбиваем на n элементарных дуг точками
А = М0, М1, ..., Мi-1, Мi, ..., Мn = В.
Если элементарные дуги достаточно малы, то в силу непрерывности
можно считать, что на каждой элементарной дуге сила 
является постоянной и равна своему значению 
в некоторой точкеNi, 
При этих предположениях элементарная работа ΔAi, совершаемая при передвижении материальной точки вдоль дуги Мi - 1 Мi, приближённо равна скалярному произведению 
Следовательно, вся работа вдоль контура L приближённо выражается суммой
Обозначим через λ длину наибольшей из хорд
Тогда 
Т. е. мы пришли к криволинейному интегралу второго рода, который в координатной форме имеет вид:
и который называют линейным интегралом вектора
(x; y; z) вдоль линии L.Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L называют циркуляцией векторного поля
по контуру L и обозначают: 
Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Т.к.
где
- проекция вектора 
на касательную τ, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство можно записать в виде: 
или
Это выражение имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция – это работа силы
поля при перемещении материальной точки вдоль L.Вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, т.к. в каждой точке векторной линии скалярное произведение
сохраняет знак: «+» - если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; «–» - в противном случае.Поток векторного поля
Понятие потока векторного поля удобно рассматривать на примере потока жидкости, движущейся через некоторую поверхность. Объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность, расположенную в движущейся жидкости, назовем потоком жидкости через эту поверхность. 
Пусть поверхность S расположена в поле скоростей частиц несжимаемой жидкости с плотностью ρ = 1. Можно показать, что поток векторного поля в этом случае равен 
где
– единичный нормальный вектор к поверхности S, расположенный по одну сторону с вектором , а величина 
Независимо от физического смысла вектора
интеграл () по поверхности называют потоком векторного поля через поверхность S.Пусть
и 
, тогда поток П вектора через поверхность S можно записать в виде: 
Или учитывая связь поверхностных интегралов первого и второго родов, можно записать поток П через поверхностный интеграл в координатах:
Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского–Гаусса в векторной форме
Пусть задано векторное поле
Дивергенцией или расходимостью векторного поля
называется скалярная функция, определяемая равенством: 
На этот раз векторное поле
порождает скалярное поле 
.С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградского–Гаусса можно представить в форме:
т. е. поток векторного поля
через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.На основании формулы () можно записать:
и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V → 0 ), имеем:
То есть
есть предел отношения потока поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.Если поток
то в область V втекает большее количество жидкости, чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости.
Если П<0, то внутри области V есть стоки. Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т.е. при П ≥ 0 внутри области V могут быть как источники, так и стоки.
Для характеристики точки можно использовать
.Если
, то данная точка есть источник, если 
– то сток.Заметим, что
можно записать с помощью символического вектора Гамильтона 
в следующем виде:
Свойства дивергенции:
1˚ Если
– постоянный вектор, то 
4˚
, U – скалярная функция.Вихревой вектор поля. Формула Стокса в векторной форме
Вихревым вектором (вихрем), или ротором векторного поля
называется вектор, имеющий координаты:
Тем самым векторное поле
порождает векторное поле вихря 
Через символический вектор Гамильтона
вихревой вектор записывается как векторное произведение вектора
на вектор поля , т. е.