Случайные процессы (стр. 2 из 4)
. (70.2)
Однако, практическое применение находят лишь функции распределения первого и второго порядков 
. Функции более высоких порядков 
используются только в теории.
70.2. Основные свойства 
-мерной функции распределения вероятностей случайного процесса аналогичны свойствам функции распределения вероятностей -мерного вектора.
1) Функция 
- неубывающая по каждому аргументу 
, 
.
2) Функция - непрерывна справа по каждому аргументу , .
3) Функция распределения симметрична относительно перестановок двух любых пар 
и 
:
.
4) Для любого целого 
, 
.
5) Для любого целого ,
.
6) 
.
Плотность распределения вероятностей случайного процесса
Если имеет производную
, (71.1)
тогда эта производная называется -мерной плотностью распределения вероятностей случайного процесса. Основные свойства плотности (71.1) аналогичны свойствам плотности распределения вероятностей -мерного вектора. Рассмотрим основные из них.
1) Функция распределения 
определяется через плотность:
. (70.2)
2) Плотность 
- неотрицательная функция:
. (70.3)
3) Плотность удовлетворяет условию нормировки:
. (70.4)
4) Выполняется равенство
, (71.5)
называемое свойством согласованности.
5) Плотность – симметричная функция относительно перестановок двух любых пар и :
. (71.6)
6) Плотность определяет вероятность попасть значениям случайного
процесса в заданные интервалы:
. (71.7)
Моментные функции случайного процесса
72.1. Пусть 
- случайный процесс, имеющий плотность 
и 
функция переменных. Вместо аргумента , , функции 
подставим 
. Тогда 
- случайная величина, математическое ожидание которой определяется соотношением:
.
(72.1)
Рассмотрим простейшие примеры функции . 1) Пусть 
- функция одной переменной, тогда 
и (72.1) принимает вид:
. (72.2)
Функция 
называется математическим ожиданием (средним, статистическим средним) случайного процесса . 2) Аналогично выбор 
приводит к равенству
. (72.3)
Функция 
называется корреляционной функцией случайного процесса . 3) Аналогично вводятся дисперсия
(72.4)
и ковариационная функцией случайного процесса
. (72.5)
Получим соотношение, связывающее функции 
. Из (72.5) следует
. (72.6)
Здесь использовалось равенство 
, поскольку - детерминированная функция и ее можно вынести за оператор математического ожидания. Таким образом, (72.6) принимает вид
. (72.7)
72.2. Функции вида
, (72.8)
где целые числа 
, называются начальными моментами порядка 
случайного процесса . Аналогично центральные моменты определяются соотношениями:
. (72.9)
Для функций (72.8), (72.9) используется общее название - моментные функции. Наиболее простые моментные функции (до второго порядка) - это рассмотренные выше математическое ожидание , дисперсия 
корреляционная и ковариационная функции 
, 
, - находят широкое практическое применение в экспериментальных исследованиях в отличие от моментов более высоких порядков, которые используютя только в теоретических расчетах.