Случайные процессы (стр. 2 из 4)

. (70.2)

Однако, практическое применение находят лишь функции распределения первого и второго порядков

. Функции более высоких порядков используются только в теории.

70.2. Основные свойства

-мерной функции распределения вероятностей случайного процесса аналогичны свойствам функции распределения вероятностей -мерного вектора.

1) Функция

- неубывающая по каждому аргументу , .

2) Функция

- непрерывна справа по каждому аргументу , .

3) Функция распределения симметрична относительно перестановок двух любых пар

и :

4) Для любого целого

5) Для любого целого

Плотность распределения вероятностей случайного процесса

Если

имеет производную

, (71.1)

тогда эта производная называется

-мерной плотностью распределения вероятностей случайного процесса. Основные свойства плотности (71.1) аналогичны свойствам плотности распределения вероятностей -мерного вектора. Рассмотрим основные из них.

1) Функция распределения

определяется через плотность:

. (70.2)

2) Плотность

- неотрицательная функция:

. (70.3)

3) Плотность удовлетворяет условию нормировки:

. (70.4)

4) Выполняется равенство

, (71.5)

называемое свойством согласованности.

5) Плотность – симметричная функция относительно перестановок двух любых пар

и :

. (71.6)

6) Плотность определяет вероятность попасть значениям случайного

процесса в заданные интервалы:

. (71.7)

Моментные функции случайного процесса

72.1. Пусть

- случайный процесс, имеющий плотность и функция переменных. Вместо аргумента , , функции подставим . Тогда - случайная величина, математическое ожидание которой определяется соотношением:

(72.1)

Рассмотрим простейшие примеры функции

. 1) Пусть - функция одной переменной, тогда и (72.1) принимает вид:

. (72.2)

Функция

называется математическим ожиданием (средним, статистическим средним) случайного процесса . 2) Аналогично выбор приводит к равенству

. (72.3)

Функция

называется корреляционной функцией случайного процесса . 3) Аналогично вводятся дисперсия

(72.4)

и ковариационная функцией случайного процесса

. (72.5)

Получим соотношение, связывающее функции

. Из (72.5) следует

. (72.6)

Здесь использовалось равенство

, поскольку - детерминированная функция и ее можно вынести за оператор математического ожидания. Таким образом, (72.6) принимает вид

. (72.7)

72.2. Функции вида

, (72.8)

где целые числа

, называются начальными моментами порядка случайного процесса . Аналогично центральные моменты определяются соотношениями:

. (72.9)

Для функций (72.8), (72.9) используется общее название - моментные функции. Наиболее простые моментные функции (до второго порядка) - это рассмотренные выше математическое ожидание

, дисперсия корреляционная и ковариационная функции , , - находят широкое практическое применение в экспериментальных исследованиях в отличие от моментов более высоких порядков, которые используютя только в теоретических расчетах.