Случайные процессы (стр. 1 из 4)
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Оглавление
Случайная функция, случайный процесс, случайное поле. 2
Функция распределения вероятностей случайного процесса. 3
Плотность распределения вероятностей случайного процесса. 4
Моментные функции случайного процесса. 5
Условные распределения вероятностей. 6
Примеры математических моделей случайных процессов. 7
Случайная функция, случайный процесс, случайное поле
69.1. Случайной функцией 
называется случайная величина 
, зависимая от параметра 
. Случайные величины могут быть вещественными, либо комплексными, либо векторными; аргумент может быть вещественным или векторным. Самый простой пример случайной функции получаем для вещественного параметра 
и вещественной случайной величины . При этом 
называется случайной функцией одной переменной или случайным процессом. Отметим, что аргумент 
случайного процесса не обязательно имеет размерность времени.
Более сложные примеры случайных функций встречаются в задачах физики, океанологии, метеорологии и других областях приложения теории вероятностей. Так, температура воздуха 
в точке пространства 
и в момент времени часто рассматривается как случайная величина. Таким образом, температура воздуха 
является случайной функцией, зависимой от трех декартовых координат 
времени . Случайную функцию, зависимую от нескольких переменных принято называть случайным полем.
69.2. Случайный процесс как функция аргумента имеет свою область определения 
, которая может быть отрезком на вещественной оси, положительной полуосью, всей вещественной осью и т. д. Рассмотрим случайный процесс при фиксированном 
, тогда 
- случайная величина, которая называется сечением случайного процесса в точке .
Пусть выполняется 
опытов, в каждом из которых измеряется значение 
, 
, случайной величины . Тогда результаты измерений – это чисел
. (69.1)
В отличие от случайной величины измерение случайного процесса выполняется в течение некоторого интервала 
-интервала наблюдения. Последний либо содержится в области определения , либо совпадает с ней. Пусть детерминированная функция 
, 
, - результат измерения случайного процесса в первом опыте, функция 
, , - результат измерения случайного процесса во втором опыте, и т.д. Тогда результаты всех опытов, аналогично (69.1), представляются совокупностью детерминированных функций времени:
(69.2)
Каждая функция 
, , называется реализацией (траекторией, выборочной функцией, выборкой) случайного процесса . Совокупность (69.2) называется ансамблем реализаций случайного процесса . Ансамбль реализаций содержит информацию о статистических свойствах случайного процесса аналогично как и совокупность измерений (69.1) содержит информацию о статистических свойствах случайной величины .
69.3. В зависимости от того, дискретны или непрерывны время и реализации , различают четыре типа случайных процессов.
1). Случайный процесс общего типа: время - непрерывно и реализации - непрерывны.
2). Дискретный случайный процесс: время - непрерывно и - дискретны.
3). Случайная последовательность: - дискретно и - непрерывны. В литературе случайные процессы этого типа принято называть временными рядами.
4). Дискретная случайная последовательность: - дискретно и - дискретны.
Функция распределения вероятностей случайного процесса
70.1. При фиксированном распределение вероятностей сечения случайного процесса (как распределение вероятностей случайной величины) задается функцией распределения вероятностей
. (70.1)
Соотношение (70.1) можно рассматривать при любом . Функция 
, как функция двух переменных 
и , называется одномерной функцией распределения вероятностей случайного процесса . Аргументы и принято называть соответственно фазовой и временной переменными. Однако, не дает исчерпывающую вероятностную характеристику случайного процесса , поскольку она не учитывает зависимости случайных величин при разных (т.е. зависимости разных сечений случайного процесса). Более полно вероятностные свойства случайного процесса описывает 
-мерная функция распределения 
- функция распределения случайного вектора 
: