Функция Дирака (стр. 2 из 4)

2)

при ;

3)

Определение 4. Числовую функцию f, определенную на некотором линейном пространстве L, называют функционалом.

Зададим совокупность тех функций, на которых будут действовать функционалы. В качестве этой совокупности рассмотрим множество Kвсех вещественных функций φ(x), каждая из которых имеет непрерывные производные всех порядков и финитна, то есть обращается в нуль вне некоторой ограниченной области (своей для каждой из функций φ(x)). Эти функции будем называть основными, а всю их совокупность К – основным пространством.

Определение 5. Обобщенной функцией называется всякий линейный непрерывный функционал, определенный на основном пространстве К.

Расшифруем определение обобщенной функции:

1) обобщенная функция f есть функционал на основных функциях φ, то есть каждой φ сопоставляется (комплексное) число (f, φ);

2) функционал f линейный, то есть

для любых комплексных чисел λ₁и λ₂ и любых основных функций φ₁ и φ₂;

3) функционал f непрерывный, то есть

, если .

Определение 6. Импульс – одиночный, кратковременный скачок электрического тока или напряжения[2, стр. 482].

Определение 7. Средняя плотность – отношение массы тела mк его объему V, то есть

[2, стр. 134].

Теорема 2. (Обобщенная теорема о среднем).

Если f(t) – непрерывная, а

- интегрируемая функции на [a;b], причем

на этом отрезке не меняет знака, то

, где

[1, стр. 228].

Теорема 3. Пусть функция f(x), ограничена на [a,b] и имеет не более конечного числа точек разрыва. Тогда функция

является первообразной для функции f(x) на отрезке [a,b] и для любой первообразной Ф(x) справедлива формула

[1, стр. 220].

Определение 8. Совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на некотором линейном пространстве Е, образует линейное пространство. Оно называется пространством, сопряженным с Е, и обозначается Е^*.

Определение 9. Линейное пространство Е, в котором задана некоторая норма, называется нормированным пространством.

Определение 10. Последовательность

называется слабо сходящейся к , если для каждого выполнено соотношение .

Теорема 4. Если {x_n} – слабо сходящаяся последовательность в нормированном пространстве, то существует такое постоянное число С, что

[10, стр. 187].

1.2 Задачи, приводящие к определению дельта-функции Дирака.

С физической точки зрения, функция Дирака, применяемая в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные в одной точке величины (нагрузка, заряд и т. п.), представлена как простейшая обобщенная функция, позволяющая записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в точке a пространства R_n. Она характеризует, например, плотность распределения масс, при котором в одной точке сосредоточена единичная масса, а любой интервал, не содержащий этой точки, свободен от масс.

1.2.1.Задача об импульсе.

Рассмотрим функцию

,

изображенную на рис.5.

Если эту функцию трактовать как силу, действующую за промежуток времени от 0 до h, а в остальное время равную нулю, то импульс этой силы, вычисляемый по формуле

равен единице.

На основании формул (1) и (2) изображение этой функции будет

.

В механике бывает удобно рассматривать силы, действующие очень короткий промежуток времени, как силы, действующие мгновенно, но имеющие конечный импульс. Поэтому вводят функцию δ(t) как предел функции

при :

.

Эту функцию называют единичной импульсной функцией или дельта-функцией, причем

, так как импульс силы равен единице.

1.2.2. Задача о плотности материальной точки.

Попытаемся определить плотность, создаваемую материальной точкой массы 1.

Положим, что эта точка есть начало координат. Чтобы определить плотность, распределим единичную массу равномерно внутри шара радиуса ε с центром в 0. В результате получим среднюю плотность f_ε(x), равную

Но нас интересует плотность при

(т.е. ε стремится к 0 справа). Примем сначала в качестве искомой плотности δ(x) предел последовательности средних плотностей f_ε(x) при , то есть функцию

(3)

От плотности δ естественно требовать, чтобы интеграл от нее по всему пространству давал бы полную массу вещества, то есть

. (4)

Но для функции δ(x), определенной формулой (3),

. Это значит, что функция не восстанавливает массу (не удовлетворяет требованию (4)) и поэтому не может быть принята в качестве искомой плотности. Таким образом, предел последовательности средних плотностей f_ε(x) не подходит для наших целей, то есть не может быть принят в качестве плотности δ(x).

Для любой непрерывной функции φ(x) найдем слабый предел последовательности

при .

Покажем, что

(5)

Действительно, в силу непрерывности функции φ(x) для любого η>0 существует такое ε₀>0, что

, коль скоро . Отсюда при всех получаем

.

Покажем, что

.

Так как

(здесь dxфактически равен dV), то - объем шара радиуса ε. Следовательно,

.

Формула (5) обозначает, что слабым пределом последовательности функций f_ε(x),

, является функционал φ(0) (а не функция!), сопоставляющий каждой непрерывной функции φ(x)число φ(0) – ее значение в точке x=0. Этот функционал принимается за определение плотности δ(x) – это и есть дельта-функция Дирака. Итак, можно записать