Функция Дирака (стр. 3 из 4)
, 
,понимая под этим предельное соотношение (5). Значение функционала δ на функции φ – число φ(0) – обозначается так:
(6) Это равенство дает точный смысл дельта-функции, введенной Дираком, обладающей следующими свойствами:
δ(x)=0, x≠0,
, 
C. Роль интеграла
здесь играет величина 
- значение функционала δ на функции φ.Таким образом, дельта-функция - функционал, сопоставляющий по формуле
=φ(0) каждой непрерывной функции φ число φ(0)- ее значение в нуле. Проверим, что функционал δ восстанавливает полную массу. Действительно, роль интеграла
играет величина 
, равная, в силу (6), значению функции, тождественно равной 1, в точке x=0, то есть =1(0)=1.Таким образом, плотность, соответствующая точечному распределению масс, не может быть описана в рамках классического понятия функции, и для ее описания следует привлекать линейные (непрерывные) функционалы.
1.3.Математическое определение функции Дирака.
Функция δ(x) применяется не только в механике, а во многих разделах математики, в частности при решении многих задач уравнений математической физики.
Пусть f(t)- функция, непрерывная на (a;b), а
- иглообразная функция. Для дальнейшего введения определения дельта-функции Дирака рассмотрим поведение интеграла
при 
Рассмотрим (a;b), содержащий внутри себя точку t=0, то есть a<0<b и
. Из определения иглообразной функции и обобщенной теоремы о среднемполучаем: 
, где 
.Если
, то и 
, а в силу непрерывности функции f(t) и 
. Поэтому при a<0<b
(7) Если же числа aи bодинаковых знаков (a<b<0 или 0<a<b), то есть (a;b) не содержит внутри себя точки t=0, то
при всех достаточно малых λ.
Если числа aи b имеют одинаковые знаки, то при
, если a>0 (рис.6), или при 
, если b<0 (рис.7), интервал 
не будет пересекаться с (a;b ), а поэтому для всех 
и 
.Следовательно,
(8)  |
Введём обозначение:
(9) Таким образом, δ(t) – обобщенная функция, характеризующая предельное поведение иглообразной функции
при и использующаяся при вычислении интегралов.Дельта-функцию можно применять и формально, пользуясь лишь следующим ее основным свойством, вытекающим из равенств (7) - (9) для любой непрерывной функции.
(10) Введем подстановку
= 
, то
(11) Свойство, описываемое соотношениями (10) и (11) называют фильтрующим свойством дельта-функции.
При f(t)≡1 соотношения (9) – (11) принимают вид
Если за интервал (a;b) взять всю числовую ось, то
.Глава 2
Применение функции Дирака
2.1. Разрывные функции и их производные.
XX - XI век находит много конструктивных решений для того, что казалось невозможным в XIX веке. Так дельта-функция решает вопрос о производной в точке разрыва (в частности, для разрыва, имеющего вид конечного скачка).
Рассмотрим интеграл функции δ(x) в зависимости от его верхнего предела, то есть функцию 
. (12) График этой функции имеет вид «ступеньки» (рис.8). Пока x<0, область интегрирования в формуле (12) целиком находится там, где δ(x)=0. Следовательно, θ(x)=0 при x<0. Если же x>0, то при интегрировании включается окрестность начала координат, где
. С другой стороны, так как приx>0 также δ(x)=0, то значение интеграла не изменяется, когда верхний предел меняется от 0,1 до 1, или до 10, или до ∞. Следовательно, при x>0 имеем
как и показано на рис.8.
Таким образом, с помощью дельта-функции сконструирована простейшая разрывная функция θ(x) такая, что при x<0, θ(x)=0, а в области x>0, θ(x)=1. При x=0, θтерпит разрыв от 0 до 1.
Не зная дельта-функции, приходится говорить, что производную нельзя находить там, где функция разрывна. Мы построили разрывную функцию θ(x). По теореме о существовании первообразной для ограниченной функции, имеющей конечное или счетное число точек разрыва, общее правило связи между интегралом и производной имеет вид:
.Тогда
.Применим его к выражению (12), получим
.Значит, для производной разрывной функции не надо делать исключений: просто в точке разрыва производная равна «особенной» функции – дельта-функции Дирака.
Производная разрывной функции определяется следующим образом:
f’(x)={f’(x)}+[fx0 ]δ(x – x0),
где fx0– величина разрыва в точке x0,
{f’(x)} – производная везде, кроме точки x0.