Функция Дирака (стр. 3 из 4)

понимая под этим предельное соотношение (5). Значение функционала δ на функции φ – число φ(0) – обозначается так:

(6)

Это равенство дает точный смысл дельта-функции, введенной Дираком, обладающей следующими свойствами:

δ(x)=0, x≠0,

,
C.

Роль интеграла

здесь играет величина
- значение функционала δ на функции φ.

Таким образом, дельта-функция - функционал, сопоставляющий по формуле

=φ(0) каждой непрерывной функции φ число φ(0)- ее значение в нуле.

Проверим, что функционал δ восстанавливает полную массу. Действительно, роль интеграла

играет величина
, равная, в силу (6), значению функции, тождественно равной 1, в точке x=0, то есть
=1(0)=1.

Таким образом, плотность, соответствующая точечному распределению масс, не может быть описана в рамках классического понятия функции, и для ее описания следует привлекать линейные (непрерывные) функционалы.

1.3.Математическое определение функции Дирака.

Функция δ(x) применяется не только в механике, а во многих разделах математики, в частности при решении многих задач уравнений математической физики.

Пусть f(t)- функция, непрерывная на (a;b), а

- иглообразная функция. Для дальнейшего введения определения дельта-функции Дирака рассмотрим поведение интеграла

при

Рассмотрим (a;b), содержащий внутри себя точку t=0, то есть a<0<b и

. Из определения иглообразной функции и обобщенной теоремы о среднемполучаем:

, где

Если

, то и

, а в силу непрерывности функции f(t) и

. Поэтому при a<0<b

(7)

Если же числа aи bодинаковых знаков (a<b<0 или 0<a<b), то есть (a;b) не содержит внутри себя точки t=0, то

при всех достаточно малых λ.

Если числа aи b имеют одинаковые знаки, то при

, если a>0 (рис.6), или при

, если b<0 (рис.7), интервал

не будет пересекаться с (a;b ), а поэтому для всех

Следовательно,

(8)

Введём обозначение:

(9)

Таким образом, δ(t) – обобщенная функция, характеризующая предельное поведение иглообразной функции

при

и использующаяся при вычислении интегралов.

Дельта-функцию можно применять и формально, пользуясь лишь следующим ее основным свойством, вытекающим из равенств (7) - (9) для любой непрерывной функции.

(10)

Введем подстановку

, то

(11)

Свойство, описываемое соотношениями (10) и (11) называют фильтрующим свойством дельта-функции.

При f(t)≡1 соотношения (9) – (11) принимают вид

Если за интервал (a;b) взять всю числовую ось, то

Глава 2

Применение функции Дирака

2.1. Разрывные функции и их производные.

XX - XI век находит много конструктивных решений для того, что казалось невозможным в XIX веке. Так дельта-функция решает вопрос о производной в точке разрыва (в частности, для разрыва, имеющего вид конечного скачка).

Рассмотрим интеграл функции δ(x) в зависимости от его верхнего предела, то есть функцию

. (12)

График этой функции имеет вид «ступеньки» (рис.8). Пока x<0, область интегрирования в формуле (12) целиком находится там, где δ(x)=0. Следовательно, θ(x)=0 при x<0. Если же x>0, то при интегрировании включается окрестность начала координат, где

. С другой стороны, так как приx>0 также δ(x)=0, то значение интеграла не изменяется, когда верхний предел меняется от 0,1 до 1, или до 10, или до ∞. Следовательно, при x>0 имеем

как и показано на рис.8.

Таким образом, с помощью дельта-функции сконструирована простейшая разрывная функция θ(x) такая, что при x<0, θ(x)=0, а в области x>0, θ(x)=1. При x=0, θтерпит разрыв от 0 до 1.

Не зная дельта-функции, приходится говорить, что производную нельзя находить там, где функция разрывна. Мы построили разрывную функцию θ(x). По теореме о существовании первообразной для ограниченной функции, имеющей конечное или счетное число точек разрыва, общее правило связи между интегралом и производной имеет вид:

Тогда

Применим его к выражению (12), получим

Значит, для производной разрывной функции не надо делать исключений: просто в точке разрыва производная равна «особенной» функции – дельта-функции Дирака.

Производная разрывной функции определяется следующим образом:

f’(x)={f’(x)}+[f_x₀]δ(x – x₀),

где f_x₀– величина разрыва в точке x₀,

{f’(x)} – производная везде, кроме точки x₀.