Метод комплексных чисел в планиметрии (стр. 2 из 2)
(рис. 9).§ 4 Прямая и окружность
(4.1) 
Пусть коэффициенты aиbне обращаются в нуль одновременно. Приходим к уравнению:
которое а) имеет единственное решение при 
б) имеет бесконечное множество решений при 
Отсюда и на основании предыдущих исследований получаем, что уравнение (4.1) определяет а) единственную точку при
б) прямую при 
в) пустое множество при 
4.3. Общее уравнение окружности в сопряжённых комлексных координатах. Окружность с центром S(s) и радиусом R имеет уравнение
(4.2)где z – координата переменной точки окружности.
(4.4)Сравнивая уравнение (4.3) с уравнением (4.2) приходим к выводу, что уравнения (4.3) и (4.2) задают окружность тогда и только тогда, когда
и ab- c– действительное число. Отсюда 
, а значит, с должно быть действительным числом. Итак, уравнение 
(4.5)есть уравнение окружности с центром
и радиусом 
4.4. Уравнение окружности по трём данным точкам. Пусть окружность
проходит через точки A, B, C. Тогда однородная линейная система 
относительно
имеет ненулевое решение (так как окружности определяются тремя неколлинеарными точками), поэтому её определитель равен нулю: 
(4.6)Это уравнение представляет собой уравнение окружности по трём данным точкам.
4.5. Ортогональные окружности. Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Очевидно, что касательная к одной из окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.
Даны две окружности (A,R) и (B,r), заданные соответственно уравнениями:
где 
и 
где 
Для того, чтобы эти окружности были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы 
или 
(4.7)или
(4.8) 
З а д а ч а 7. В плоскости даны два отрезка ABиCD. Найдите множество точек М, для каждой из которых площади треугольников MABиMDCравны (рис. 10).З а д а ч а 9.На гипотенузе ABпрямоугольного треугольникаABCдана произвольная точкаP. Докажите, что окружности, описанные около треугольниковAPC и BPC, ортогональны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Примем вершину С данного треугольника за начальную точку. Пусть точкам А, В, P соответствуют комплексные числа 1, b, p, а центрам окружностей РАС и РВС числа 
(рис. 11). По условию 
или 
. Переходя к комплексным числам, получаем: 
откуда 
.Руководствуясь (4.6), составим уравнение окружности РВС:
или
После раскрытия определителя получаем:
или
откуда
Из уравнения находим:
Аналогично, для окружности РAС имеем:
и
отсюда
Согласно критерию (4.8) для того, чтобы окружности РАС и РВС были ортогональны необходимо и достаточно, чтобы
Учитывая предыдущие результаты, проверим выполнимость данного критерия: 
Таким образом, окружности РАС и РВС являются ортогональными.