Пусть коэффициенты aиbне обращаются в нуль одновременно. Приходим к уравнению:
Отсюда и на основании предыдущих исследований получаем, что уравнение (4.1) определяет а) единственную точку при
4.3. Общее уравнение окружности в сопряжённых комлексных координатах. Окружность с центром S(s) и радиусом R имеет уравнение
где z – координата переменной точки окружности.
Сравнивая уравнение (4.3) с уравнением (4.2) приходим к выводу, что уравнения (4.3) и (4.2) задают окружность тогда и только тогда, когда
есть уравнение окружности с центром
4.4. Уравнение окружности по трём данным точкам. Пусть окружность
относительно
Это уравнение представляет собой уравнение окружности по трём данным точкам.
4.5. Ортогональные окружности. Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Очевидно, что касательная к одной из окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.
Даны две окружности (A,R) и (B,r), заданные соответственно уравнениями:
или
З а д а ч а 9.На гипотенузе ABпрямоугольного треугольникаABCдана произвольная точкаP. Докажите, что окружности, описанные около треугольниковAPC и BPC, ортогональны.
Руководствуясь (4.6), составим уравнение окружности РВС:
или
После раскрытия определителя получаем:
или
откуда
Из уравнения находим:
Аналогично, для окружности РAС имеем:
и
отсюда
Согласно критерию (4.8) для того, чтобы окружности РАС и РВС были ортогональны необходимо и достаточно, чтобы
Таким образом, окружности РАС и РВС являются ортогональными.