Задача по Математике
Исследовать абсолютную устойчивость нелинейной системы:
1. Определить K = Kгр, при котором система находится на границе устойчивости:
Параметры реле:
- включение x = 0.5;
- выключение x = - 0.5;
- на выходе при включении z(x) = 1;
- на выходе при выключении z(x) = -1;
z = f(x)
f(0) = 0
0 < f(x)/x < Kн
Kн = tgα = 1/0.5 =2
Нелинейная характеристика находится в 1 и 3 квадрантах, удовлетворяет выше перечисленным условиям =>
Допустимо использовать критерий В.М. Попова для исследования абсолютной устойчивости нелинейной системы.
Передаточная функция линейной части:
Q(s) = 0, βι < 0, полюсы левые => ЛЧ устойчива.
=>
Допустимо использовать критерий В.М. Попова для исследования абсолютной устойчивости нелинейной системы.
Передаточная функция линейной части:
Преобразованная передаточная функция линейной части:
Wp(s) = Re(W(s)) + jwIm(W(s))
γ >0 – любое.
Строим годограф преобразованной ЛЧ ( в данном случае Kpr = 1.5)
Находим точку пересечения годографа преобразованной ЛЧ с мнимой осью:
Im(Wp(jw)) = 0;
Re(W(jw))|{Im(W(jw))=0} = Kpr*(-0.5)
Kprвыбираем из условий: преобразованная частотная характеристика должна лежать справа от прямой, проведенной через точку -1/Kн на вещественной оси комплексной плоскости. Угол наклона ζ = arctg(1/τ).
(-0.5)Kpr > -1/Kн
=> Kpr < 1.
Вывод: при Kpr = 1 система находится на границе устойчивости.
2. Исследование автоколебаний (метод гарм. баланса):
Вычисляем передаточную функцию НЭ.
Wнэ(A) = q(A);
Колебания не возникнут, если отрицательный инверсный годограф НЭ не пересечет годограф ЛЧ ( Wлч = -1/q(A)).
Отрицательный инверсный годограф НЭ:
Отрицательный инверсный годограф НЭ и годограф ЛЧ :
- Колебания не возникнут.
3. При K = 1.1Kprсинтезировать корректирующее устройство:
Строим годограф преобразованной ЛЧ ( в данном случае Kpr = 1.1)
Для стабилизации системы вводим дополнительное звено Wф=(T1*p +1),
T1=1/w0, T1=1/0.9=1.1
Передаточная функция скорректированной системы:
Строим годограф скорректированной преобразованной части:
Через точку -1/Kн на вещественной оси комплексной плоскости можно провести прямую(угол наклона ζ = arctg(1/τ) ), так чтобы преобразованная скорректированная частотная характеристика лежала справа от прямой.
=> Система абсолютно устойчива.
Построить переходной процесс в системе при Хвх =10:
Переходной процесс:
