Вектор (стр. 2 из 6)

Замечание: В случае, когда λ = 0 или

произведение является нулевым вектором.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1.

(ассоциативное свойство сомножителей);

Действительно, заметим, что векторы, стоящие обеих частях равенства, имеют одну и ту же длину

. Кроме того, они коллинеарны и одинаково направлены, так как их направление совпадает с направлением , если λ и μ одного знака, и противоположно направлению , если λ и μ имеют разные знаки. Если же λ или μ равны нулю, то обе части равенства равны нулю. Свойство доказано.

2.

(свойства дистрибутивности).

Построим треугольник OAB где

и . Построим далее треугольник SPQ, где и . Так как стороны SP, PQ треугольника SPQ параллельны и пропорциональны сторонам OA, AB треугольника OAB, то эти треугольники подобны. Поэтому сторона SQ также параллельна стороне OB и отношение их длин также равно |λ|. Ясно, далее, что и одинаково направлены, если λ > 0. Отсюда следует, что . Но и , а отсюда вытекает первое свойство дистрибутивности.

Очевидно, что векторы стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности коллинеарны. Допустим сначала, что знаки λ и μ одинаковы. Тогда векторы

и направлены одинаково и длина их суммы равна сумме их длин, т. е. . Но и следовательно, в этом случае векторы и равны по длине. Направление их совпадает с направлением вектора , если общий знак λ и μ положителен, и противоположно ему, если отрицателен. Допустим теперь, что знаки λ и μ различны, и для определенности будем считать |λ| > |μ|. В этом случае длина суммы равна разности длин, точнее . Но . Следовательно, и в этом случае длина вектора равна длине вектора . Очевидно, что оба эти вектора направлены так же, как . Если же |λ| = |μ| и знаки λ и μ противоположны, то обе части равенства равны нулю. То же обстоятельство имеет место, если равен нулю вектор или оба скаляра одновременно.

Теорема: Если вектор

коллинеарен ненулевому вектору , то существует вещественное число λ такое, что = λ .

Глава 3. Линейная зависимость векторов

Любое множество, элементами которого являются векторы, называется системой векторов. Выражение вида

, где λ _i – вещественное число, называется линейной комбинацией векторов системы . Числа λ _i называются коэффициентами линейной комбинации. Различают два типа линейных комбинаций: тривиальные, когда и нетривиальные .

Если

, то говорят, что вектор представлен (разложен) в виде линейной комбинации векторов системы . Разумеется, нулевой вектор может быть представлен в виде тривиальной линейной комбинации любой системы векторов. Тривиальная линейная комбинация любой системы векторов равна нулю.

Определение: Система векторов

называется линейно зависимой, если хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация векторов системы обращается в нуль, т.е. имеет место равенство , при .

Система векторов не являющаяся линейно зависимой называется линейно независимой.

Определение: Система векторов

называется линейно независимой, если равенство нулю линейной комбинации векторов системы возможно лишь в случае ее тривиальности, т.е. из того, что следует .

Теорема: Если хотя бы один из векторов системы является нулевым, то эта система является линейно зависимой.

Действительно, из векторов системы

можно составить линейную комбинацию , которая не является тривиальной.

Теорема: Если часть системы векторов линейно зависима то и вся система векторов линейно зависима.

Действительно, если система векторов

линейно зависима, то существует нетривиальная линейная комбинация . Для любой системы векторов линейная комбинация также является нетривиальной.

Теорема: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Действительно, либо оба коллинеарных вектора равны нулю, и тогда равна нулю любая их линейная комбинация (в том числе и нетривиальная), либо один из них не нуль, и тогда, в силу теоремы из второго раздела, другой отличается от него на числовой множитель. Запишем это:

. Но эта же запись означает, что , и мы имеем нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю.

Наоборот, допустим, что два неколлинеарных вектора

и линейно зависимы. Тогда существуют коэффициенты λ и μ такие, что , причем, например, λ ≠ 0. Это означает, что , и векторы коллинеарны, вопреки нашему предположению.

Следствие: Если два вектора неколлинеарны, то они линейно независимы.

Теорема: Любой вектор

лежащий в одной плоскости с неколлинеарными векторами и , может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов (т.е. найдутся такие вещественные числа λ и μ, что ). Такое представление единственно.