Заметим, прежде всего, что оба вектора

и

отличны от нуля, так как если бы хоть один из них был нулевым, то они были бы коллинеарны. Если вектор

коллинеарен одному из данных векторов, то утверждение сводится к теореме из второго раздела.
В общем случае перенесем все три вектора в одну точку О (рис. 6). Через конец C вектора

проведем прямые
CР и
CQ, параллельные векторам

и

. Тогда

, причем векторы

и

коллинеарны соответственно

и

. В силу теоремы из второго раздела существуют и определены однозначно такие числа λ и μ, что

,

. Таким образом,

, что и требовалось.
Допустим теперь, что существует другая линейная комбинация

, равная

, причем, например λ ≠ σ. Тогда

, так как иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку
C параллельно вектору

. Из последнего равенства вытекает, что σ = λ, в противоречие с нашим предположением.
Следствие: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.
В самом деле, пусть векторы

,

,

линейно зависимы, тогда один из них есть линейная комбинация двух других. Пусть, например

. Приложим векторы

,

,

к одной и той же точке
О (рис. 7), так что

,

,

.
Предположим сначала, что векторы

,

не коллинеарны; тогда несущие их прямые определяют некоторую плоскость. В этой плоскости лежат и векторы

и

, а значит, и весь параллелограмм, на этих векторах построенный, в частности и его диагональ

. Значит все три вектора

,

,

компланарны.
Если векторы

и

коллинеарны, то коллинеарны как векторы

,

, так и их сумма

- три вектора

,

,

оказываются даже коллинеарными.
Если же векторы

,

,

компланарны, то либо один из них, например

, лежит в одной плоскости с двумя другими неколлинеарными векторами (следовательно

; или

), либо все три вектора коллинеарны (следовательно

). Тем самым следствие полностью доказано.
Следствие: Если три вектора некомпланарны, то они линейно независимы.
Теорема: Любой вектор

может быть представлен в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов

,

и

(т.е. найдутся такие числа λ, μ, ν, что

). Такое представление единственно.
Никакие два из векторов

,

и

не коллинеарны, иначе все три были бы компланарны. Поэтому, если

компланарен с какими-нибудь двумя из данных векторов, то наше утверждение вытекает из предыдущего следствия.
В общем случае перенесем все векторы в одну точку О (рис. 8) и проведем через конец D вектора

прямую, параллельную вектору

. Она пересечет плоскость
ОЕ1Е2 в точке
Р. Очевидно, что

. Согласно теореме из второго раздела и предыдущему следствию существуют такие числа λ, μ и ν, что

и

. Таким образом,

.
Единственность коэффициентов линейной комбинации доказывается так же, как и предыдущем следствии.
Следствие: Любые четыре вектора линейно зависимы
Глава 4. Понятие базиса. Свойства вектора в данном базисе
Определение: Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Определение: Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.
Базис в пространстве позволяет однозначно сопоставить каждому вектору упорядоченную тройку чисел – коэффициенты представления этого вектора в виде линейной комбинации векторов базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел

при помощи базиса

мы сопоставим вектор

, если составим линейную комбинацию

.

Числа

– называются
компонентами (или
координатами) вектора

в данном базисе

(записывается

).