Вектор (стр. 4 из 6)
Теорема: При сложении двух векторов их координаты складываются. При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.
Действительно, если
и 
, то 
.Определение и свойства координат вектора на плоскости аналогичны. Вы легко можете сформулировать их самостоятельно.
Глава 5. Проекция вектора
Под углом между векторами понимается угол между векторами равными данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π. Если один из векторов нулевой то угол считается равным нулю. Если угол между векторами прямой то векторы называются ортогональными.
Определение: Ортогональной проекцией
вектора 
на направление вектора 
называется скалярная величина 
, φ – угол между векторами (рис.9).Модуль этой скалярной величины равен длине отрезка OA0.
Если угол φ острый проекция является положительной величиной, если угол φ тупой – проекция отрицательна, если угол φ прямой – проекция равна нулю.
При ортогональной проекции угол между отрезками OA0 и AA0 прямой. Существуют проекции, у которых этот угол отличен от прямого.
Проекции векторов обладают следующими свойствами:
1.
(проекция суммы равна сумме проекций);2.
(проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число).Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.
Ортогональный базис называется ортонормированным, если его векторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространстве часто используют обозначения
.Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов есть соответствующие ортогональные проекции этого вектора на направления координатных векторов.
Пример: Пусть вектор
единичной длины 
образует с вектором 
ортонормированного базиса 
на плоскости угол φ, тогда 
.Пример: Пусть вектор
единичной длины образует с векторами , 
и 
ортонормированного базиса в пространстве углы α, β, γ, соответственно (рис.11), тогда 
. Причем 
. Величины cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора Глава 6. Скалярное произведение
Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.
Скалярное произведение векторов
и обозначается через 
[или 
; или 
]. Если φ - угол между векторами 
и , то 
.Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1.
(коммутативность).2.
(скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой.
4.
.5.
.6.
.Теорема: В ортогональном базисе
компоненты любого вектора находятся по формулам: 
; 
; 
.Действительно, пусть
, причем каждое слагаемое коллинеарно соответствующему базисному вектору. Из теоремы второго раздела следует, что 
, где выбирается знак плюс или минус в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены векторы 
, и . Но, 
, где φ - угол между векторами , и . Итак, 
. Аналогично вычисляются и остальные компоненты.Скалярное произведение используется для решения следующих основных задач:
1.
; 2. 
; 3. 
.Пусть в некотором базисе
заданы векторы и тогда, пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать: 
Величины
называются метрическими коэффициентами данного базиса. Следовательно 
.Теорема: В ортонормированном базисе
;
;
;
.Замечание: Все рассуждения этого раздела приведены для случая расположения векторов в пространстве. Случай расположения векторов на плоскости получается изъятием лишних компонент. Автор предлагает сделать вам это самостоятельно.
Глава 7. Векторное произведение
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной (правой), если после приложения к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левоориентированной (левой).