Определение: Векторным произведением вектора

на вектор

называется вектор

, удовлетворяющий условиям:
1.

где φ – угол между векторами

и

;
2. вектор

ортогонален вектору

, вектор

ортогонален вектору

;
3. упорядоченная тройка векторов

является правой.
Если один из векторов нулевой, то векторное произведение есть нулевой вектор.
Векторное произведение вектора

на вектор

обозначается

{либо

}.
Теорема: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.
Пример: Если

– правый ортонормированный базис, то

,

,

.
Пример: Если

– левый ортонормированный базис, то

,

,

.

Пример: Пусть,

а

ортогонален к

. Тогда

получается из вектора

поворотом вокруг вектора

на

по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора

).
Пример: Если дан вектор

, то каждый вектор можно представить в виде суммы

, где

– ортогонален

, а

– коллинеарен

. Легко видеть, что

.
Действительно, можно заметить, что

. Вектор

компланарен векторам

и

, а потому

и

коллинеарны. Легко видеть (рис. 12), что они одинаково направлены.
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
1.

(антикоммутативность);
Действительно, из определения следует, что модуль векторного произведения не зависит от порядка сомножителей. Точно так же вектор

коллинеарен вектору

. Однако, переставляя сомножители, мы должны изменить направление произведения, чтобы было выполнено условие 3) определения. Действительно, если

,

,

- правая тройка, то

,

,

- левая, а

,

,

- снова правая тройка.
2.

;
Если φ - угол между векторами

и

, то

. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, лежат на прямой, перпендикулярной

и

. При λ > 0 и вектор

и

вектор направлены так же, как

. Если λ < 0, то кратчайший поворот от

к

производится навстречу кратчайшему повороту от

к

. Поэтому

и

противоположно направлены. Очевидно, что противоположно направлены также и векторы

и

. Таким образом, при λ ≠ 0 векторы

и

направлены всегда одинаково, и равенство доказано. При λ = 0 равенство очевидно.
3.

;
Если

, то доказываемое очевидно. Если

, то разложим

и

в суммы

и

, где

и

ортогональны

, а

и

коллинеарны

. Поскольку

, и вектор

ортогонален

, а

коллинеарен

, нам достаточно доказать равенство

и (в силу свойства 2) даже равенство

, где

. Длина вектора

равна 1. Выше, в примере, мы видели, что в этом случае умножение на

сводится к повороту (ортогонального к

) первого сомножителя на угол 90°. Но при повороте параллелограмм, построенный на

и

, поворачивается целиком вместе с диагональю. Тем самым равенство доказано.