Вектор (стр. 6 из 6)

4.

.

Пусть в некотором базисе

заданы векторы и тогда

или

Теорема: В ортонормированном базисе

или

{если базис левый, то перед одной из частей каждого равенства следует поставить знак минус}.

Справедливость теоремы следует из предыдущих формул при учете примеров в начале раздела. Чтобы избежать постоянных замечаний об ориентации базиса, мы будем считать, что базис выбирается всегда правый.

Векторное произведение используется в основном для решения двух задач:

1. Нахождения вектора перпендикулярного плоскости, в которой расположены два заданных вектора.

2.

Вычисление площади S параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах. В ортонормированном базисе

.

В планиметрии векторное произведение не определено. Но ничто не мешает считать, что изучаемая плоскость помещена в пространство и третий базисный вектор выбран единичным и перпендикулярным плоскости. Тогда векторное произведение имеет одну ненулевую компоненту, а именно третью, и площадь параллелограмма в ортонормированном базисе на плоскости выражается формулой

.

Глава 8. Смешанное произведение

Определение: число

называется смешанным произведением векторов , и .

Смешанное произведение векторов

, и обозначается или .

Теорема: Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах, взятому со знаком плюс если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая.

Действительно,

, где φ - угол между векторами и , а θ - угол между векторами и . Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , равен (рис. 13) произведению площади основания на высоту . Таким образом, первое утверждение доказано. Знак смешанного произведения совпадает со знаком cosθ, и поэтому смешанное произведение положительно когда направлен в ту же сторону от плоскости векторов и , что и вектор , т. е. когда тройка , , правая. Аналогично доказывается, что смешанное произведение левой тройки векторов отрицательно.

Пример: Если

- ортонормированный базис, то или , смотря по тому, правый это базис или левый.

Теорема: Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Равенство

возможно в следующих случаях:

a.хотя бы один вектор нулевой; тогда все три вектоpaкомпланарны;

b.sinφ = 0 тогда

и коллинеарны, и следовательно , и компланарны;

c.cosθ = 0 тогда вектор

ортогонален , т. е. компланарен и .

Обратное утверждение доказывается аналогично.

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1.

;

2.

;

3.

.

Пусть в некотором базисе

векторы , , , тогда

или

В частности, в ортонормированном базисе

{если базис левый, то перед одной из частей равенства следует поставить знак минус}.

Следствие: Условие

является необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов, заданных своими координатами в некотором базисе

Литература

• Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М, Наука, 1968, 912 с.
• Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. М, Высшая школа, 1967, 655 с.
• Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М, Наука, 1971, 328 с.

Действительно, этим числом является или

, или в зависимости от того, направлены ли векторы и одинаково или противоположно. Если , то λ = 0. Единственность множителя λ очевидна: при умножении на разные числа мы получим различные векторы.