Методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной (стр. 3 из 6)

С учащимися необходимо рассмотреть тему на наибольшее и наименьшее значение функции, обращая особое внимание на тот факт, что наибольшее (наименьшее) значение функции не является максимумом (минимумом) функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса, утверждающая, что непрерывная на отрезке

функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение, т. е. существуют точки отрезка , в которых принимает наибольшее и наименьшее на значения.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее[2].

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке .

Решение: запишем выражение для функции в более удобном виде, воспользовавшись для этого свойством четности функции косинуса

Найдем

Найдем значения аргумента, при которых

, для чего решим уравнения

и . Имеем следующую совокупность решений

Отрезку

принадлежит только три решения уравнения .

Действительно, длина заданного в условии задачи отрезка меньше

, то есть меньше разности каждой из трех арифметических прогрессий, записанной выше совокупности решений, поэтому рассматриваемому отрезку принадлежит не более одного числа каждого семейства.

Так как функция

возрастает на своей области определения, то , то есть , откуда следует, что . То есть отрезку принадлежат и .

Находя значения

и сравнив их , находим, что на отрезке функции имеет наибольшее значение , а наименьшее значение

§2. Применение общей схемы к исследованию функций

Теоретический материал, который требуется для изучения исследований функций с помощью производной уже известен учащимся. В данной теме фактически систематизируются знания учащихся, относящиеся к вопросам нахождения промежутков возрастания (убывания) и экстремумов, показывается общий метод получения результатов. Таким образом, изучение этой темы завершает рассмотрение теоретических вопросов, связанных с исследованием функций. Все положения, которые нужно отразить в решении задания на исследование, имеют теоретические обоснования, общие методы решения.

В ходе изучения этой темы учащиеся должны научиться проводить исследование функций по общей схеме и строить их графики. Построения графика функции необходимо начинать с исследования функции, которое состоит в том, что для данной функции:

1) находят ее область определения;

2) выясняют, является ли функция

четной или нечетной, является ли периодической;

3) точки пересечения графика с осями координат;

4) промежутки знакопостоянства;

5) промежутки возрастания и убывания;

6) точки экстремума и значения

в этих точках;

7) исследуют поведение функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю

;

На основании такого исследования строится график функции.

Исследование функции на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции

и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума.

Пример 1. Исследуем функцию

и построим ее график.

Проведем исследование по указанной схеме.

1)

, так как - многочлен.

2) Функция

не является ни четной, ни нечетной

3) График

пересекается с осью ординат в точке чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить уравнение , один из корней легко найти . Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Промежутки знакопостоянства не находим.

4) Найдем производную функции

:

, поэтому критических точек, для которых не существует, нет.

Заметим, что

, если , т.е. при значениях аргумента, равных 0,-1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три критические точки.

Составляем таблицу:

	+		−		−		+
max	min

В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции. Критическая точка равная 0 функции

не является точкой экстремума [2].