Строим график функции (рис.1). Строить его удобно по промежуткам, которые указаны в таблице.
Пример 2. Исследовать функцию
1)
2) Функция четная, исследование ее можно проводить на промежутке
.3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат, т.е. решим уравнение
. Пусть тогда уравнение примет вид: или , т.е. или , не имеет решения. Получили две точки пересечения с осью абсцисс . График пересекает ось ординат в точке .4) Найдем производную функции
5) Найдем критические точки функции:
а)
, если , , или , илиб)
определена на всей6) Определим знак производной на промежутках, найдем значения в точках -1, 0, 1. Полученные данные занесем в таблицу и построим график [2].
− | + | − | + | ||||
Min | max | min |
Построим график данной функции (рис. 2):
Приведем примеры заданий для самостоятельной работы по исследованию функций.
Исследуйте функцию и постройте ее график:
1)
2)
3)
4)
5)
После изучения данной темы учащимся предлагается контрольная работа.
Контрольная работа по теме «Производная и ее применение»
I вариант
1. Дана функция
. Найдите:а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) точки экстремума;
в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
.2. Постройте график функции
.3. Составьте уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой .4. В какой точке касательная к графику функции
параллельна прямой ?5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .II вариант
1. Дана функция
. Найдите:а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) точки экстремума;
в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
.2. Постройте график функции
.3. Составьте уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой .4. В какой точке касательная к графику функции
параллельна прямой ?5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке [10].§3. Типичные ошибки учащихся при исследовании функций
При проведении исследования функций учащиеся часто допускают ошибки. Большое число ошибок допускается при построении графиков функции с использованием производной.
а) Пусть требуется исследовать с помощью производной функцию
и построить ее график. Результаты исследования функции оформим в виде таблицы (таб. 1).Таблица 1
0 | |||||||
+ | 0 | − | 0 | + | − | ||
0 | |||||||
Max | min | max |
Покажем ошибочные эскизы графиков, которые учащиеся изображают по данной таблице (рис. 3,4,5,6)