Смекни!
smekni.com

Методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной (стр. 5 из 6)

Рис.6

На каждом из этих рисунков допущены грубые математические ошибки и происходят они из-за того, что учащиеся используют из таблицы лишь сведения о том, где функция возрастает и где убывает, и совершенно не берут во внимание существование производной функции в критических точках. В таблице 1 отмечено, что в точках,

производная функции существует, а это означает, что в точках с этими абсциссами можно провести касательную. Тот факт, что производная функции в этих точках равна нулю, означает, что в точках с этими абсциссами касательные к кривой должны быть параллельны оси Ox. Анализ рисунков 3,4,5,6 показывает, что указанное выше требование нарушено, а именно, на рисунке 3 нельзя провести касательную к кривой с абсциссой
; на рисунках 4 и 5 – в точках с абсциссами
; на рисунке 6 – в точках с абсциссами
.

Правильный график функции

показан на рисунке 7.

б) При исследовании функции на монотонность учащиеся очень часто не учитывают точек, в которых функция неопределенна. Приведем пример такой ошибки.

Исследовать функцию

на монотонность.

Часто учащиеся поступают так:

; находят точки, в которых производная равна нулю:
; затем, множество всех действительных чисел разбивают точкой
на два промежутка
находят знаки производной на каждом промежутке и делают затем ошибочный вывод о монотонности функции на каждом из этих двух промежутков.

Поступать же надо было так. Множество всех действительных чисел следовало бы разбить на промежутки точками, в которых функция не определена и точками в которых производная равна либо нулю, либо равна бесконечности, либо не существует. В данном случае мы получим три промежутка:

. Знак производной функции на каждом из них отмечен на рисунке 8.

Ответ должен быть записан в следующем виде:

на промежутке

функция возрастает;

на промежутке

функция убывает;

на промежутке

функция возрастает.

По поводу записи ответа отметим следующее: если функция

непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то его можно присоединить к этому промежутку. Так, в нашем случае, в точке
функция непрерывна, а значит промежутки могли бы быть записаны так:
.

в) Ряд ошибок связан с решением текстовых задач на экстремум. Проанализируем эти ошибки.

Очень часто учащиеся в процессе решения задач на экстремум при исследовании полученной функции на наибольшее (наименьшее) значение делают такой вывод: «Функция на промежутке имеет один максимум, тогда максимальное значение и будет наибольшим». Такое утверждение содержит ошибки, разберем суть этих ошибок.


На рисунке 9 показан график такой функции, которая на промежутке
имеет одну точку максимума, но максимальное значение не является

наибольшим; наибольшее значение функция достигает в точке

.
Учащиеся были бы почти правы, если бы они записали вывод в таком виде: «Функция на промежутке имеет один экстремум, который максимум, тогда максимальное значение будет и наибольшим на данном промежутке». Этому утверждению соответствует рисунок 10.


Но и последнее утверждение содержит ошибку. На рисунке 9 показан график функции, которая на отрезке

имеет одну точку экстремума, которая является точкой максимума, но максимальное значение не является на этом промежутке наибольшим; наибольшее значение достигается при
.

Обобщая проведенные рассуждения, вывод, сделанный учащимися, должен быть таким: «Непрерывная функция имеет на промежутке одну точку экстремума, которая является точкой максимума, тогда это максимальное значение и будет наибольшим на указанном промежутке».

Приведенных в работе примеров типичных ошибок, допускаемых учащимися при изучении Алгебры и начал анализа, вполне достаточно, чтобы показать учителю насколько важно учить учеников, а им самим учиться, рефлексивно- оценочной деятельности, которая позволит устранить и предупредить подобного рода ошибки [5].


§4. План-конспект урока по теме «Производная и ее применение»

Цель урока: обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по теме «Производная и ее применение».

Тип урока: обобщения и систематизация знаний

Структура урока:

1. Постановка цели урока.

2. Актуализация опорных знаний и умений.

3. Самостоятельная работа.

4. Подведение итогов работы на уроке.

Оборудование урока: 1. Рисунки. 2. Кодоскоп. Кодопозитивы.

Выбор методов обучения. Основные методы − эвристические и репродуктивные.

Ход урока:

1. Постановка цели урока.

Учитель сообщает учащимся цель урока.

2. Актуализация опорных знаний и умений.

На данном этапе урока учащиеся сидят по группам, соответствующим ими выбранной тематике домашнего задания (количество учащихся в группе корректируется учителем по 5-6 человек). Столы стоят таким образом, чтобы учащиеся могли видеть доску. Четыре представителя от каждой группы излагают у доски одну из задач, подобранных из различных пособий, и отвечают на вопросы:

1. Геометрический смысл производной.

2. Физический смысл производной.

3. Роль знака производной для определения возрастания или убывания функции на некотором промежутке.

4. Дать определение (в широком смысле) касательной, проведенной к графику данной функции через точку

. Записать уравнение касательной.

Пока они готовятся, все учащиеся слушают историческую справку, делая соответствующие записи в тетрадях.

Заслушав план решения каждой задачи, записанной на доске, учащиеся делают вывод о том, что наиболее емкое применение производная находит при решении различных задач и построении графиков функций.

3. Самостоятельная работа.

Учащимся дается задание: «Исследовать функцию

и построить ее график»

При фронтальной беседе с группами вырисовывается алгоритм решения задачи и чертеж к ней.

4.Урок заканчивается подведением итогов Учащимся дается домашнее задание: найти в дополнительной литературе задачи на применение производной в других науках.

Заключение

В курсовой работе рассмотрена методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной. Нами выполнен анализ содержания стандарта среднего (полного) общего образования по математике, учебника Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.. с точки зрения изучения функций и их исследования с помощью производной

В работе показано применение общей схемы к исследованию функций, разработаны задания для самостоятельной работы, контрольная работа.

Нами проанализированы типичные ошибки учащихся при исследовании функций и построении графиков. В курсовой работе представлен план-конспект урока по теме: «Применение производной к исследованию функций»

Список используемой литературы