Методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной (стр. 1 из 6)

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический

университет им. Н.Г. Чернышевского» (ЗабГГПУ)

Факультет физико-математический

Кафедра фундаментальной и прикладной математики,

теории и методики обучения математики

Курсовая работа

Тема: Методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной

Выполнила: студентка 141 группы

Просолова В. Ю.

Проверил: доцент кафедры

ФиПМТиМОМ

к.п.н. Тонких Г.Д.

Чита, 2010 г.

Оглавление

Введение…………………………………………………………………..3

§1. Методика обучения учащихся исследованию функций на монотонность и нахождение экстремумов……………………………………………...5

§2. Применение общей схемы к исследованию функций……………14

§3. Типичные ошибки учащихся при исследовании функций………………………………………………………………………………19

§4. План-конспект урока по теме: «Применение производной к исследованию функций»…………………………………………………………......24

Заключение………………………………………………………………26

Список используемой литературы…………………………………......27

Введение

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и парой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Развитие математики со времён Древнего Египта, Вавилона, Греции прошло не малый путь, меняясь и преобразовываясь.

При изучении процессов реального мира (физических, химических, биологических, экономических и всевозможных других) мы постоянно встречаемся с характеризующими их величинами, меняющимися в течение рассматриваемых процессов. При этом часто бывает, что изменению одной величины сопутствует и изменение другой или даже, более того, изменение одной величины является причиной изменения другой. Взаимосвязные изменения числовых характеристик рассматриваемых величин приводят к их функциональной зависимости в соответствующих математических моделях. Поэтому понятие функции является одним из самых важных понятий в математике и ее приложениях.

Школьный курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к началам анализа, выявлением их практической значимости. При изучении вопросов анализа широко используются наглядные соображения: уровень строгости изложения определяется с учётом общеобразовательной направленности изучения начал анализа и согласуется с уровнем строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах [5].

Цель изучения курса алгебры и начала анализа в 10-11 классах систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовки необходимого апорта для изучения геометрии и физики.

Цель: рассмотреть методические особенности обучения учащихся исследованию функций с помощью производной

Задачи:

- рассмотреть методику обучения учащихся исследованию функций на монотонность и нахождение экстремумов

- показать применение общей схемы к исследованию функций

- рассмотреть типичные ошибки учащихся при исследовании функций

- показать план-конспект урока по теме: «Применение производной к исследованию функций»

Объект исследования: процесс обучения курсу «Алгебра и начала анализа».

Предмет исследования: методика обучения учащихся исследованию функций.

Методы исследования: анализ научно-методической литературы; изучение нормативных документов.

§1.Методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной на монотонность и нахождение экстремумов

В соответствии со стандартом среднего (полного) общего образования по математике раздел «Функции» включает следующие вопросы:

Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Учащиеся должны уметь:

· определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

· строить графики изученных функций;

· описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;

· решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;

· использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;

· вычислять производные элементарных функций, используя справочные материалы;

· исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа [10].

Применение производной к исследованию функций, построению графиков, решению задач на нахождение наибольших и наименьших значений – важнейший раздел темы «Производная и ее применение». Материал этой темы используется при изучении многих классов функций: тригонометрических, показательной, логарифмической и др. Он имеет также очень большое прикладное значение и играет большую роль в установлении межпредметных связей (в особенности с курсом физики).

Приведем тематическое планирование раздела: «Применения производной» в соответствии с учебником Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др. [8].

Тематическое планирование

№ урока	Содержание учебного материала
1,2	Касательная к графику функции. Уравнение касательной
3,4	Производная в физике и технике. Механический смысл производной
5-7	Признак возрастания (убывания) функции
8-10	Критические точки функции, максимумы и минимумы
11-13	Примеры применения производной к исследованию функции
14-16	Наибольшее и наименьшее значения функции
17	Контрольная работа

Изучение темы «Применение производной к исследованию функций» требует знания некоторых определений и теорем, которые изучались ранее. Эти сведения следует повторить до изучения темы: понятия возрастания и убывания функции на множестве, определение производной, ее геометрический смысл, в связи с этим – понятия касательной, углового коэффициента прямой, условие параллельных прямых.

В ходе решения задач ученикам понадобится находить производные функций, пользоваться известными графиками для построения графиков других функций. Повторить нужно и метод интервалов. Наконец, для усвоения понятия экстремума функции и доказательства соответствующих теорем надо вспомнить определение предела функции. Поскольку в дальнейшем обучении будет идти речь о необходимых и достаточных условиях, и эти понятия должны быть усвоены учащимися [7].

Признак возрастания (убывания) функции.

Одно из основных применений производной в школьном курсе алгебры и начал анализа − это исследование функций, в частности нахождение промежутков возрастания и убывания. Программой по математике сформулированы требования к усвоению этого материала − учащиеся должны уметь находить промежутки возрастания (убывания) функций.

Для подготовки к сознательному усвоению формулируемого в теме достаточного признака возрастания (убывания) функции (до его введения) полезно рассмотреть учащимся геометрические иллюстрации, на которых показаны графики функций, имеющих разный характер изменения, а также касательные в точках, принадлежащих к промежуткам возрастания и промежуткам убывания функций. Анализируя расположение касательных по отношению к оси абсцисс (угол наклона) и определяя тем самым знаки значений производной, учащиеся подводятся к самостоятельному формулированию требуемых признаков [1].

Достаточный признак возрастания функции. Если

в каждой точке интервала , то функция возрастает на .

Достаточный признак убывания функции. Если

в каждой точке интервала , то функция убывает на .

Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа.