Задачи и примеры их решения по теории вероятности
Вариант 3.
1. Решите уравнение
Решение
По определению
.Тогда
и уравнение принимает вид 
или 
откуда получаем 
и 
Так как m может быть только натуральным числом, то значение
отбрасываем.Ответ:
.2. В урне находится 12 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что два одновременно изъятых наудачу шара будут черными
Решение
При выборе двух шаров из 20 существует
различных вариантов, где 
, тогда 
Определим благоприятных исходов, т.е. извлечены два черных шара. Два черных шара из 8 можно выбрать
способами следовательно, число благоприятных исходов 
.Искомая вероятность, согласно классическому определению вероятности, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:
.Ответ:
.3. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому
Решение
Воспользуемся классическим определением вероятности. Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются 99 и всего их 90, т.е. N= 90. Теперь посчитаем, сколько у нас чисел кратных либо 4, либо 5, либо тому и другому.
Число кратное 4-м имеет вид
, кратное 5 
, кратное 4 и 5 
.В интервале от 10 до 99 всего
числа кратных четырем (2 кратных до десяти), 
чисел кратных пяти (1 кратное до 10) и 
числа кратных и четырем и пяти.Так как множество чисел кратных 4 и множество чисел кратных 5 не пересекаются, то всего получается 22 + 18 = 40 чисел удовлетворяющих необходимому нам условию, причем числа кратные и четырем и пяти уже входят в эти 40 чисел. В итоге получаем, что вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому равна
.Ответ:
.4. В партии 10 деталей, из которых 8 стандартные. Из этой коробки наудачу извлекается 2 детали. Х – число стандартных деталей. Найти закон распределения, функцию распределения дискретной случайной величины Х, а также основные числовые характеристики
Решение
Среди 2-х извлеченных деталей может быть 0, 1 или 2 стандартные.
Найдем вероятность каждого исхода.
0 стандартных:
1 стандартная:
2 стандартных:
Закон распределения принимает вид:
| Х | 0 | 1 | 2 |
| р |  |  |  |
Запишем функцию распределения полученной случайной величины Х:
Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины находится по формуле:
, и подставляя данные, получим: 
Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле:
, и, подставляя данные, получим: 
Среднеквадратичное отклонение:
s(Х)=
Ответ:
; 
; 
.5. По данной выборке постройте полигон. Найти эмпирическую функцию.
| Хi | 2 | 5 | 7 | 8 |
| Ni | 1 | 3 | 2 | 4 |
Решение
Построим полигон частот – ломаную, соединяющую точки с координатами (Хi; Ni).
Объем выборки равен N = 1 + 3 + 2 + 4 = 10.
Найдем относительные частоты и составим эмпирическую функцию распределения:
| Хi | 2 | 5 | 7 | 8 |
| wi | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
Ответ:решение выше.