Площади многоугольников (стр. 13 из 18)
С–2. Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).
С–3. Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол.
С–4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
С–5. Медиана треугольника делит его на 2 равновеликие части.
С–6. Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.
С–7. Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.
С–8. Средняя линия треугольника площади
отсекает от него треугольник площади 
.Решение задач
Задача 1. Дано
- трапеция, 
и 
- диагонали. Пересекающиеся диагонали разбивают трапецию на 4 треугольника с вершиной в точке О. 
и 
- треугольники, которые прилегают к основаниям и треугольники 
и 
- треугольники, которые прилегают к боковым сторонам. Обозначим 
, 
, 
, 
, 
.Найдите связь между площадями треугольника.
Рис. 2.2
Выразите площадь трапеции через
и 
, т. е. через площади треугольников, прилегающих к основаниям трапеции.Так как
, то надо выразить 
и 
через 
и .Вопрос. Что можно сказать про площади
и ?Ответ.
= , т. к. треугольники 
и 
имеют одинаковые площади, а если от равных отнять площадь , то получим равные площади и .Выразите
через и . 
, 
.Докажите, что
и 
. 
(2.1) 
(2.2)Перемножив (2.1) и (2.2), получим
. 
.Вопрос. Как сформулировать правило, которое мы вывели?
Ответ. Площадь треугольника, прилегающего к боковой стороне трапеции есть среднее геометрическое между площадями треугольников, прилегающих к основаниям трапеции.
Вопрос. Как вывести соотношение
, используя свойства площадей?Ответ.
.Вопрос. Какое свойство площадей здесь использовались?
Ответ. С – 3, С – 2 (ученики отвечают устно).
Вопрос. Как можно ещё вывести соотношения
?Ответ.
. 
; .Найдите площадь трапеции (рис. 2.3)
Рис. 2.3
или 
.Таким соотношением связана площадь трапеции с площадями треугольников, прилегающих к её основаниям. Итак, для трапеции
.Вопрос. Справедливо ли это соотношение для любого четырёхугольника?
Ответ. Нет, т. к.
.Основания у треугольников
и одинаковые (рис. 2.4), но их вершины не на параллельных прямых. 
Рис. 2.4
Вопрос. А какое соотношение между
можно вывести для четырёхугольника (рис. 2.4)?Ответ.
,т. е. произведения площадей треугольников, прилегающих к противоположным сторонам четырёхугольника равны.
Задача 2. (обратная).
Дано: выпуклый четырёхугольник
Докажите, что этот четырёхугольник есть трапеция.
Доказательство.
С другой стороны, 
(рис. 2.4). 
, следовательно 
, но 
, (рис. 2.4), следовательно 
, следовательно 
, следовательно 
, следовательно 
и 
, т. е. 
, а это означает, что 
, т. е. четырёхугольник 
- трапеция.Задача 3. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника проведены 3 прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют треугольник на 6 частей, из которых три треугольника с площадями
. Найдите площадь треугольника. 
Рис. 2.5
Дано:
. 
. 
. 
. 
, 
, 
.