Площади многоугольников (стр. 4 из 18)
Между тем их вычисления должны были на чём-то основываться – если не на прямом определении, то на чём-то, его заменяющем, на каких-то принципах, которые позволяли им всякий раз получать в качестве площади определённое число. И такие принципы, конечно, существовали, хотя обычно не формулировались. Это – основные свойства площади. Так, в одних школьных учебниках площадь многоугольников вообще не определяется, но указываются её свойства, соответствующие аксиомам площади. В других же определения носят формально дескриптивный характер, но свойства, определяющие площадь, используются не для построения общей функции
, а для вычисления площади основных плоских фигур: прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции и плоских фигур, составленных из этих основных. Отметим также, что на основе аксиом площади вполне строго выведены формулы площади указанных основных плоских фигур. Поскольку, однако, существование единственной функции не установлено, то доказанное лишь означает, что если функция 
существует, то её значения для основных плоских фигур однозначно определяются обычными общеизвестными формулами.1.3 Различные формулы площадей многоугольников
Площадь прямоугольника со сторонами
и 
вычисляется по формуле (рис. 1.8) 
Площадь параллелограмма вычисляется по формулам
, 
,где а – его основание, b – боковая сторона, α – угол между ними, h – высота (рис. 19)
Рис. 1.8 Рис. 1.9
Площадь многоугольника вычисляется по формулам
,где а – одна из сторон треугольника, h – проведённая к ней высота (рис. 1.10, а);
,где a, b – стороны треугольника, γ – угол между ними (рис 1.10, а);
(формула Герона),где а, b, с – стороны треугольника, а
- полупериметр (рис. 1.10, б); 
,где р – полупериметр, r – радиус вписанной в треугольник окружности (рис. 1.10, в);
,где a, b, c – стороны треугольника, R – радиус описанной около треугольника окружности (рис. 1.10, г);
,где
– сторона треугольника, α – противолежащий ей угол, β,γ – два других угла (рис. 1.10, д);Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле
,где
– сторона правильного треугольника (рис. 1.10, е). 
а) б)
в) с)
д) е)
Рис. 1.10
Площадь трапеции вычисляется по формулам
,где а и b – основания трапеции, h – высота (рис. 1.11, а);
,где MN – средняя линия трапеции, h – её высота (рис. 1.11, б);
,где d1, d2 – диагонали трапеции, α – угол между ними (рис. 1.11);
,где с – боковая сторона трапеции,
– перпендикуляр из середины другой боковой стороны на первую или её продолжение (рис. 1.11, г). 
а) б)
в) г)
Рис. 1.11
Если даны диагонали e и f и угол α между ними, то площадь произвольного четырёхугольника находят по формуле
.В частности, площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей (рис. 1.12):
. 
Рис. 1.12
Площадь произвольного четырёхугольника (рис. 1.13) можно выразить через его стороны а, b, c и сумму
пары противоположных углов: 
,где р – полупериметр четырёхугольника.
Рис. 1.13
Площадь вписанного в окружность четырёхугольника (
) (рис. 1.14, а) вычисляется по формуле Брахмагупты 
,а описанного (рис. 1.14, б) (
) – по формуле 
Если же четырёхугольник вписан и описан одновременно (рис. 1.14, в), то формула становится совсем простой:
. 
а) б)
Рис. 1.14
Площадь всякого описанного многоугольника вычисляется по формуле
,где R – радиус круга, вписанного в многоугольник, а Р – периметр прямоугольника.
Общий метод для нахождения площади произвольного многоугольника состоит в том, что его надо разбить на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Иногда многоугольник представляют как сумму и разность треугольников. Однако простой и компактной формулы для определения площади произвольного n-угольника нет. Это неудивительно, ведь в ней неизбежно будет слишком много переменных. Чтобы задать n-угольник (его форму и размеры), нужно указать 2n – 3 его элемента: например, длины всех сторон. Кроме одной, и величины n – 2 образованных ими углов.
1.4 Вывод формул площадей многоугольников
1.4.1 Площадь треугольника. Формула Герона
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведённую к ней высоту:
.Доказательство проводится очень просто. Данный треугольник АВС (рис. 1.15) достроим до параллелограмма ABDC. Треугольники ABC и DCB равны по трём сторонам, поэтому их площади равны. Значит площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABDC, т. е.
. 
Рис. 1.15
Но здесь возникает следующий вопрос: почему три возможных полупроизведения основания на высоту для всякого треугольника одинаковы? Это, впрочем, легко доказать из подобия прямоугольников с общим острым углом. Рассмотрим треугольник АВС (рис. 1.16):
; 
; 
.Тогда
; 
