Площади многоугольников (стр. 5 из 18)
И, следовательно,
; 
,откуда
; 
и
. 
Рис. 1.16
Однако в школьных учебниках так не делается. Наоборот, равенство трёх полупроизведений устанавливается на основе того, что все эти полупроизведения выражают площадь треугольника. Таким образом, неявно используется существование единственной функции
. А ведь здесь появляется удобная и поучительная возможность продемонстрировать пример математического моделирования. Действительно, за понятиям площади стоит физическая реальность, но прямая проверка равенства трёх полупроизведений показывает добротность перевода этого понятия на язык математики.Пользуясь приведённой выше теоремой о площади треугольника очень часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников. Приведём ниже некоторые очевидные, но важные следствия из теоремы.
Следствие 1. Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной её основанию, то его площадь при этом не меняется.
На рис. 1.17 треугольники АВС и АВD имеют общее основание АВ и равные высоты, опущенные на это основание, т. к. прямая а, которая содержит вершины С и D параллельна основанию АВ, а поэтому площади этих треугольников равны.
Рис. 1.17
Следствие 1 можно переформулировать следующим образом.
Следствие 1′. Пусть дан отрезок АВ. Множество точек М таких, что площадь треугольника АМВ равна заданной величине S, есть две прямые, параллельные отрезку АВ и находящиеся от него на расстоянии
(рис. 1. 18) 
Рис. 1. 18
Следствие 2. Если одну из сторон треугольника, прилежащих к данному его углу, увеличить в k раз, то площадь его также увеличится в k раз.
На рис. 1.19 треугольники АВС и ABD имеют общую высоту ВH, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований
.Из следствия 2 следуют важные частные случаи:
1. Медиана делит треугольник на две рановеликие части.
2. Биссектриса угла треугольника, заключённая между его сторонами а и b, делит его на два треугольника, площади которых относятся как a : b.
Следствие 3. Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.
Это следует из того, что (рис. 1.19)
, 
,поэтому
. 
Рис. 1.19
В частности, имеет место следующее утверждение:
Если два треугольника подобны и сторона одного из них в k раз больше соответствующих сторон другого, то его площадь в k2 раз больше площади второго.
Выведем формулу Герона для площади треугольника следующими двумя способами. В первом используем теорему косинусов:
, (1.3)где a, b, c – длины сторон треугольника, γ – угол, противолежащий стороне с.
Из (1.3) находим
.Значит,
Замечая, что
, 
, 
, 
,где
- полупериметр треугольника, получаем: 
.Таким образом, площадь треугольника
.Формулу Герона можно вывести, опираясь только на теорему Пифагора и не используя теорему косинусов.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 1.20) со сторонами a,b,c.
Рис. 1.20
В нём всегда найдётся высота, основание которой лежит на стороне треугольника, а не на её продолжении. Искомая площадь треугольника АВС:
,следовательно, для её определения достаточно вычислить
. По теореме Пифагора: 
, 
.Кроме того,
.Решаем полученную систему трёх уравнений с тремя неизвестными
, 
:
(1.4)Вычитая из первого уравнения системы (1.4) второе, имеем:
Теперь из первого уравнения системы (1.4) находим
: 
.Предложенный вывод формулы Герона отражает межпредметные связи алгебры и геометрии, он доступен учащимся сразу же после изучения теоремы Пифагора.
Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
Рассмотрим одно из доказательств этой теоремы, которое в школьном курсе не рассматривается.
Пусть нам дан прямоугольник со сторонами a, b и площадью S (рис. 1.21). Докажем, что
. 
Рис. 1.21
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b. Площадь этого квадрата
.С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S и двух квадратов с площадями
Из чего имеем:
, 
.Отсюда получаем:
.Теорема доказана.
1.4.3 Площадь трапеции
Докажем следующую формулу для вычисления площади трапеции:
Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перепендикуляра, опущенного на неё из середины другой боковой стороны.
Доказательство. Пусть ABCD – данная трапеция (
), 
– середина стороны 
– перпендикуляр, опущенный из точки на прямую 
. (рис. 1.22) 
Рис. 1.22
Проведём через точку K прямую, параллельную прямой АВ. Пусть М и Р – точки её пересечения с прямыми ВС и AD. Параллелограмм АВМР равновелик данной трапеции, так как пятиугольник АВСКР является для них общим, а треугольник СМК конгруэнтен треугольнику KPD, т. е. трапеция и параллелограмм составлены из одинаковых частей.
Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его основания АВ на высоту КН, утверждение доказано.