Площади многоугольников (стр. 6 из 18)
Замечание. Последний абзац решения можно (более формально) записать и так:
, 
(по построению), 
(по стороне и двум прилежащим углам), поэтому 
,следовательно,
.1.4.4 Площадь четырёхугольника
Школьная программа предусматривает вычисление площадей фактически двух видов выпуклых четырёхугольников: параллелограмма и трапеции. Для четырёхугольника, фактически не являющегося параллелограммом или трапецией, формула нахождения его площади не выводится. В то же время применение такой формулы для решения ряда задач было бы удобным. Имеется в виду формула вычисления площади произвольного выпуклого четырёхугольника, которую можно назвать аналогом формулы Герона, учитывая их некоторое внешнее свойство.
Докажем следующую теорему: площадь произвольного выпуклого четырёхугольника может быть определена по формуле:
,где
, a, b, c, d – длины сторон, р – полупериметр, δ и β – противолежащие углы четырёхугольника.Доказательство. Пусть в четырёхугольнике ABCDАВ = а, ВС = b,
CD = c, DA = d; ÐABC = β, ÐADC = δ (рис. 1.23)
Рис. 1.23
Из
в силу теоремы косинусов 
Из
: 
.Приравнивая правые части этих выражений, получим:
,или
. (1.5)Найдём площадь четырёхугольника ABCD как сумму площадей треугольников ABC и ADC:
,откуда
(1.6)В равенствах (1.5) и (1.6) обе части возведём в квадрат, а затем почленно сложим:
Выполним равносильные преобразования, получим
,что и требовалось доказать.
Теорема имеет ряд следствий.
Следствие 1. Площадь произвольного четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле (как было сказано выше) Брахмагупты:
.Доказательство сразу следует из теоремы, рассмотренной выше, с учётом того, что сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 1800, т. е.
, 
.Поэтому
.Следствие 2. Площадь произвольного четырёхугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле:
.Доказательство. Так как у описанного четырёхугольника суммы противолежащих сторон равны, т. е.
,то
, 
, 
, 
.Имеем:
Следствие 3. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность и описанного около окружности, может быть вычислена по формуле:
.Доказательство. Так как
и в силу следствия 1 
,то
1.4.5 Универсальная формула
Существует универсальная формула, известная в математике под названием формулы Симпсона, с помощью которой можно вычислять площади плоских фигур: параллелограмма, трапеции и треугольника.
Она имеет вид:
,где
- длина нижнего основания, 
- длина среднего основания, 
- длина верхнего основания, h – высота фигуры.Применяя формулу, имеем:
Для параллелограмма (квадрата, прямоугольника) (рис. 6, а)
,для трапеции (рис 6, б)
,для треугольника (рис 6, в)
. 
а) б)
в)
Рис. 1.24
1.4.6 Площадь n-угольника
Теорема. Площадь всякого описанного многоугольника равна произведению периметра на половину радиуса.
Рис 1.25
Доказательство. Соединив центр О (рис. 1.25) со всеми вершинами описанного многоугольника, разделим его на треугольники, в которых за основания можно взять стороны многоугольника, а за высоты – радиус круга.
Обозначив этот радиус через R, будем иметь:
, 
, и т. д.Следовательно,
,где Р – периметр прямоугольника.
Теорема доказана.
Следствие. Площадь правильного многоугольника равна произведению периметра на половину апофемы, т. к. всякий правильный многоугольник можно рассматривать как описанный около круга, у которого радиус есть апофема.
Для нахождения площади какого-нибудь неправильного многоугольника нужно его разбить на треугольники, вычислить площадь каждого треугольника в отдельности и результаты сложить. Но здесь возникает следующий вопрос: почему при различных разбиениях многоугольника на треугольники соответствующие суммы окажутся одинаковыми? Если бы это было доказано, то при условии единственности площади прямоугольника (произведения длин его сторон) тем самым была бы построена единственная функция
. Это доказательство состоит из ряда этапов и далеко не просто. Проведение такого доказательства в средней школе вряд ли целесообразно. Однако в классах с углубленным изучением математики после формулировки свойств площади важно сообщить, что функция, обладающая этими свойствами, существует и единственна.Метод, о котором далее пойдёт речь был впервые применён французским математиком Жераром в 1895 году и усовершенствован Лебегом.
Отыскание функции
, удовлетворяющей аксиомам площади, проведём в несколько этапов.I. Выбираем на плоскости произвольную точку О. Указываем выражение
для произвольного выбранного многоугольника F в двух формах. Независимость от фиксированной точки О и проверка выполнения аксиом площади на этом этапе не устанавливаются.Пусть
или их продолжения через 
соответственно. Сопоставим многоугольнику F число с помощью следующей формулы: 
, (1.7)где ставится знак «+», если прилегающая к стороне
внутренняя часть многоугольника и точка О находятся в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей 
, и знак « - » - в противном случае. Для многоугольника, изображённого на рис. 1.26, при i= 1; 5 будет знак « - », а при i= 2; 3; 4; 6 – знак «+».