Площади многоугольников (стр. 7 из 18)

Рис. 1.26

Отметим, что значение

не изменится, если какую-либо сторону многоугольника считать остоящей из нескольких непрерывающихся отрезков.

Так, например (рис. 1.26),

, ,

причём знаки перед выражениями

, входящие в формулу (1.7), будут одинаковыми ( в данном случае «+»).

Формула (1.7) может быть записана в векторной форме. Обозначим через

единичный вектор внешней нормали к стороне . Введём вектор . Точка произвольно фиксирована на прямой, содержащей , обозначим . Покажем, что , где знак выбирается так же, как в формуле (1). (- скалярное произведение векторов и ).

Доказательство проведём для двух сторон прямоугольника, у которых произведение

входит в формулу (1) с разными знаками. Для многоугольника, изображённого на рис. 1.27, произведение берётся со знаком « - », а - со знаком «+».

Рис. 1.27

Итак,

.

Для остальных сторон соотношение

доказывается аналогично. Теперь величину можно представить в виде:

. (1.7)

II. Докажем, что величина

не зависит от выбора точки О. Возьмём какую-либо точку , вместо точки , сохранив прежними точки , тогда для всех i векторы заменяются векторами . При этом, обозначая , получим (рис. 1.28):

.

Рис. 1.28

Для произвольного многоугольника найдём разность значений функции

и , вычисленных по формуле (1') относительно точек О и О'.

Введём вектор

и покажем, что . Сумму векторов найдём по правилу многоугольника. Отложим вектор от какой-либо точки, а каждый следующий от конца предыдущего. В итоге получим замкнутую ломанную, образующую многоугольник, равный многоугольнику F (его можно рассматривать как результат параллельного переноса и поворота на прямой угол многоугольника F). Так как ломаная, построенная на векторах , оказалась замкнутой, то

.

Из полученного равенства следует, что

.

Таким образом, величина

не зависит от выбора точки О.

III. Покажем, что значения

для прямоугольников и треугольников совпадают с известными выражениями их площадей.

Пусть точка О находится в одной из вершин прямоугольника F со сторонами a и b, тогда сумма (1.7) состоит из двух положительных слагаемых

и ( ), следовательно,

В частности, если

- квадрат со стороной единичной длины, т. е. , то и выполнена аксиома и площади многоугольников (нормированность площади).

Если точку О поместить в вершину А треугольника F, равного треугольнику АВС, то получим обычную формулу площади треугольника

.

IV. Покажем, что

удовлетворяет аксиоме площади 2, т. е. инвариантности площади. Пусть многоугольник может быть получен из многоугольника движением. Выберем произвольно точку О для многоугольника F. В качестве точки для многоугольника выберем точку, полученную из О тем же движением плоскости, при котором многоугольники и совмещаются. Тогда , и знаки при и совпадают ( ), а, значит, (по формуле (1.7)).

V. Докажем, что

удовлетворяет аксиомам 3 и 1, т. е. аддитивности и положительности площади.

Возьмём прямоугольник

, представляющий собой объединение двух неперекрывающихся многоугольников и (рис. 1.29).

Рис. 1.29

Общей частью многоугольников

и является отрезок АВ.

Используем формулу (1.7'). Вклады отрезка АВ в суммы

и взаимно уничтожаются, так как положительные нормали для отрезка АВ, фигур и противоположно направлены. Таким образом, сумма даёт значение для объединения многоугольников и , т. е. удовлетворяет аксиоме 3. Вывод, очевидно, остаётся справедливым и в случае, если многоугольник является объединением любого конечного числа не перекрывающихся многоугольников (в том числе и для треугольников). Отсюда, в частности, следует, что при разбиении произвольного многоугольника на конечное число n попарно не перекрывающихся треугольников сумма для совокупности составляющих треугольников совпадает с для данного многоугольника, независимо от способа его разбиения. Поскольку площадь треугольника положительна, то удовлетворяет аксиоме 1.