Площади многоугольников (стр. 8 из 18)
Итак, функция
, определённая формулами (1.7') и заданная на множестве всех многоугольников, удовлетворяет аксиомам площади.1.4.7 Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин
Метод координат, предложенный в XVII веке французскими математиками Р. Декартом (1596-1650) и П. Ферма (1601-1665), является мощным аппаратом, позволяющем переводить геометрические понятия на алгебраический язык. В основе этого метода лежит понятие – система координат. Мы будем рассматривать вычисление площади многоугольника по координатам его вершин в прямоугольной системе координат.
Площадь треугольника
Теорема 1. Если
- площадь треугольника 
, где 
, 
и 
,то справедливо равенство
, (1.8)где
. 
будем называть определителем площади треугольника.Доказательство. Пусть вершины
треугольника расположены в первой координатной четверти. Возможны два случая.Случай 1. Направление
(или 
, или 
) расположения вершин треугольника совпадает с направлением движения конца часовой стрелки (рис. 1.30). 
Рис. 1.30
Имеем:
.Но
,Так как фигура
- трапеция.Аналогично находим, что
и 
.Выполнив алгебраические преобразования
,получим, что:
. (1.9)В равенстве (1.9) определитель площади
, о поэтому перед выражением стоит знак «минус», так как 
.Покажем, что
. Действительно, здесь 
так как
(площадь прямоугольника с основанием
и высотой 
больше суммы площадей прямоугольников с основаниями 
, 
и высотами 
, 
; (рис. 1.30), откуда .Случай 2. Указанные направления в случае 1 противоположны направлению движения конца часовой стрелки (рис. 1.31)
Рис. 1.31
Здесь
.Но
,так как фигура
- трапеция, а 
и 
. 
получим:
, (1.10)где
. Действительно, здесь 
Теорема доказана, когда вершины треугольника расположены в первой координатной четверти.
Воспользовавшись понятием модуля, равенства (1.9) и (1.10) можно записать так:
,так как
Замечание 1. Мы вывели формулу (1.8), рассматривая простейшее расположение вершин
, изображённое на рисунках 1.30 и 1.31; однако формула (1.8) верна при любом расположении вершин 
.Рассмотрим случай, изображённый на рисунке 1.32.
Рис. 1.32
Здесь
.Но
, 
где
Поэтому, выполнив несложные геометрические преобразования:
получим снова, что
, где 
.Площадь n-угольника
Многоугольник может быть выпуклым или невыпуклым, порядок нумерации вершин считается отрицательным, если вершины нумеруются по направлению движения конца часовой стрелки. Многоугольник, не имеющий самопересечения сторон, будем называть простым. Для простого именно n-угольника справедлива следующая
Теорема 2. Если
- площадь простого n-угольника 
, где 
, то справедливо равенство 
,где
будем называть определителем площади простого n-угольника.Доказательство. Возможны два случая.
Случай 1. n-угольник – выпуклый. Докажем формулу (1.11) методом математической индукции.
Для
она уже доказана (теорема 1). Предположим, что она справедлива для n-угольника; докажем, что она остаётся справедливой и для выпуклого (n+1)-угольника.