I век до нашей эры

I. Введение

В истории математики рассмотренный нами период существования Александрийской школы носит название «Первой Александрийской школы». С начала нашей эры на основе работ александрийских математиков начинается бурное развитие идеалистической философии: снова возрождаются идеи Платона и Пифагора, и эта философия неоплатоников и неопифагорейцев быстро снижает научное значение работ новых представителей математической мысли. Но вес же математическая мысль не замирает, а время от времени проявляется в работах отдельных математиков. Второй период, в который протекала работа Александрийской школы, носит название «Второй Александрийской школы».

II. Герон Александрийский

К числу представителей Александрийской школы в начале второго периода ее существования надо отнести Герона Александрийского, жившего, вероятно, в I в. до н. э. Герон был выдающимся греческим инженером и ученым. Он известен многими своими изобретениями, работами геодезического характера, а также математическими работами, относящимися главным образом к вопросам геометрической метрики. Из его работ, имеющих значение для математики, можно отметить «Метрику» и «О диоптре». В «Метрике» приводятся правила и указания для точного и приближенного вычисления площадей и объемов различных фигур и тел; среди них имеется и формула для определения площади треугольника по трем его сторонам, вошедшая в математику под именем формулы Герона. Кроме того, в этой работе указываются примеры решения квадратных уравнений и приближенного вычисления квадратных и кубических корней. Характерной особенностью «Метрики», выделяющей ее из ряда работ других греческих геометров, предшествовавших Герону, служит то обстоятельство, что в ней обычно правила даются без доказательств, а лишь выясняются на отдельных примерах. Это значительно снижает достоинства работы и, несомненно, является признаком недостаточной научной подготовки её автора. Но в области практических, приложений математики Герон превосходит многих своих предшественников. Лучшей иллюстрацией этого является его работа «О диоптре». В этом труде излагаются методы различных работ геодезического характера, причем землемерная съемка производится с помощью изобретенного Героном прибора диоптры. Этот прибор является прообразом современного теодолита. Главной его частью служила линейка с укрепленными на концах ёе визирами. Эта линейка вращалась по кругу, который мог занимать и горизонтальное, и вертикальное положение, что давало возможность намечать направления как в горизонтальной, так и в вертикальной плоскости. Для правильности установки прибора к нему присоединялись отвес и уровень. Пользуясь этим прибором и вводя фактически в употребление прямоугольные координаты, Герон мог решать на местности различные задачи: измерить расстояние между двумя точками, когда одна из них или обе недоступны наблюдателю; провести прямую, перпендикулярную к недоступной прямой линии; найти разность уровней между двумя пунктами; измерить площадь простейшей фигуры, не вступая на измеряемую площадку.

Сочинения Герона давали его современникам богатый материал, практическое использование которого вполне удовлетворяло вопросам строительства и земледелия, а потому эти сочинения пользовались большим успехом в продолжение многих столетий.

III. Никомах, Менелай

В конце I в. н. э. надо отметить появление трудов неопифагорейца Никомаха. Его работа «Введение в арифметику» является первым трудом по арифметике, изложенным независимо от геометрии, и потому она оказывала свое влияние на изучение арифметики не менее тысячи лет. Между тем эта работа не содержит в себе ничего особенно оригинального. Основной ее идеей является классификация чисел, причем она проводится на основах, всецело опирающихся на числовую мистику. В числовую классификацию Никомаха входят также и многоугольные числа по образцу пифагорейских. Наиболее интересным в «Арифметике» Никомаха является раздел суммирования числовых рядов. Здесь мы встречаем, например, указание на то, что кубические числа представляют собой суммы последовательных нечетных чисел. Так, 13 = 1; 23 = 3 + 5; 33 = 7 + 9 + 11; 43 = 13 + 15 + 17 + 19 и т. д.

Современником Никомаха надо считать астронома и геометра Менелая Александрийского, который написал трактат о сферических треугольниках, явившихся в свое время как бы фундаментом сферической геометрии. В этом же труде Менелая находится его знаменитая теорема, согласно которой «если какая-нибудь прямая линия пересекает три стороны треугольника или их продолжения, то произведение трех отрезков, не имеющих общих точек, равно произведению трех других отрезков».

IV. Клавдий Птолемей

Ко II в. относится деятельность Клавдия Птолемея. Оп работал главным образом в области астрономии, причем его астрономические наблюдения относятся ко времени между 125 и 151 г. (Как астроном Птолемей разработал геоцентрическую систему мира, согласно которой Земля неподвижно покоится в центре мира, а все небесные светила движутся вокруг нее. Эта система была опровергнута Н. Коперником в его гелиоцентрической системе мира, полагающей, что центром Вселенной является Солнце, вокруг которого обращаются Земля и другие планеты, причем все планеты вращаются вокруг своих осей.) В своих работах он невольно сталкивался с понятиями тригонометрического характера, а потому ему удалось внести значительный вклад и в развитие тригонометрии. В своих астрономических работах Птолемей уже не разделял часы на дневные и ночные, как это делали египтяне, а считал их равными по своей продолжительности. Окружность он разделял на 360 градусов и каждый градус делил еще пополам. Диаметр же окружности он делил на 120 градусов, полагая, таким образом, что длина окружности в 3 раза больше ее диаметра; при этом каждый градус диаметра подразделял на 60 равных частей, а каждую из этих частей вновь разделял на 60 частей. В более позднее время эти подразделения градуса получили у римлян наименования partes minutae primae и partes minutae sekundae, что в переводе означает «части меньшие первые» и «части меньшие вторые». От этих латинских слов нами и заимствованы названия для единиц измерения углов и времени — минута и секунда.

Главная работа Птолемея называлась «Великое математическое построение астрономии в XIII книгах» или сокращенно «Мэгистэ» (в пер. с греч. «величайшая»). В историю она вошла под названием «Альмагест», которое дали ей впоследствии арабы.

В «Альмагесте» Птолемей вычисляет величины хорд всех дуг от 0° до 180о, причем значения хорд даны для дуг через каждую 1/2°. Для выполнения этой работы Птолемей вводит свою теорему, которая в истории математики носит название теоремы Птолемея и формулируется так: произведение длин диагоналей вписанного в круг четырехугольника равно сумме произведений длин его противоположных сторон. Из этой теоремы Птолемей подучил следствия, позволяющие по данному диаметру окружности и по двум хордам, стягивающим дуги  и , вычислить хорды, стягивающие дуги  +  и  - . Пользуясь полученными соотношениями, а также используя уменье вычислять стороны вписанных в круг правильных фигур (треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника и десятиугольника), Птолемей и составил свою таблицу хорд, предшественницу современных таблиц синусов.

В истории математики Птолемей известен также тем, что он первый усомнился в очевидности постулата Евклида о параллельных прямых и делал попытки доказать его справедливость, тем самым положив начало длинному ряду подобных же попыток позднейших геометров, пока Лобачевский не показал безуспешность таких доказательств, разъяснив их невозможность.

V. Папп

Последним крупным геометром Александрийских школ следует признать геометра III в. Паппа. Ему принадлежало, как полагают значительное число сочинении, из которых сохранилось лишь «Математическое собрание», да и то не в полном виде (из восьми книг этого сборника полностью утрачена первая и не хватает части второй).

«Математическое собрание» Паппа имеет для истории математики большое значение: оно содержит обзор трудов предшественников Паппа, развивает некоторые их идеи, комментирует эти труды. Благодаря этому для нас сохранились сведения о многих математических работах древних, которые не дошли в подлинниках до нашего времени. Кроме того, в работе Паппа имеются и некоторые новые и оригинальные открытия. Так как Папп не всегда называет авторов приводимых им теорем, то нам трудно судить, какие теоремы принадлежат ему самому и какие - другим авторам. Но по отношению к некоторым из них считают несомненным, что они принадлежат Паппу. Многие из этих теорем имеют значительный теоретический и практический интерес. Теорема Паппа об инволюции точек читается так: «Если на двух прямых, лежащих в одной плоскости, взять по три точки: на первой прямой точки 1, 5 и 3, а на второй—2, 4 и 6, то точки пересечения пар прямых 1—2 и 4—5, 2—3 и 5—6, 3—4 и 6— 1 лежат на одной прямой МN (рис. 1).

Большое применение имеет теорема, которая впоследствии была переоткрыта Паулем Гюльденом (1577—1643), а потому и носит имя последнего: объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг какой-нибудь лежащей в ее плоскости прямой, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной при вращении ее центром тяжести. Интересна предложенная и изученная Паппом спираль, которая описывается точкой, движущейся вдоль дуги четверти окружности, когда эта дуга вращается около диаметра. Из других теорем, доказанных Паппом, приведем ещё такие: «Центр тяжести треугольника принадлежит также другому треугольнику, вершины которого лежат на сторонах данного и разделяют эти стороны в одном и том же отношении»; «Прямая, соединяющая противоположные концы параллельных диаметров двух кругов, имеющих внешнее касание, проходит через точку касания». Паппу приписывается также решение задачи о проведении через той точки, лежащие на одной прямой, трех прямых, образующих треугольник, вписанный в данный круг.

VI. Диофант

К числу александрийских ученых относятся алгебраист Диофант, живший, вероятно, в III в. Жил он 84 года. Последнее сведение почерпнуто из эпиграммы некоего Метродора, помещенной в так называемой «Греческой антологии». Содержание эпиграммы таково:

«Диофант прожил 1/6 своей жизни в детстве, 1/12 в юности, следующую затем 1/7 часть своей жизни был холостяком; через 6 лет после женитьбы у него родился сын, который умер на 4 года ранее своего отца и дожил до возраста, вдвое меньшего, чем лета его отца».

Диофант написал сочинение, названное им «Арифметика». Это сочинение резко отличается по своему характеру от известных нам других математических работ древних греков. Главное отличие заключается в том, что изложение его идет чисто аналитическим путем, хотя и вводится иногда геометрическая терминология. «Арифметика» Диофанта включает в себя главным образом вопросы алгебры и теории чисел. Надо отметить, что Диофант не излагает обобщенных методов для решения тех или иных вопросов, а к решению каждого отдельного вопроса подходит с особым методом. Это выявляет огромные математические способности Диофанта, но сильно снижает научную ценность его труда- Из 13 книг «Арифметики» до нашего времени сохранилось только 6. В них Диофант рассматривает решение уравнений 1-й и 2-й степени, причем основное внимание обращает на неопределенные уравнения.

А

лгебра Диофанта должна быть отнесена к так называемому периоду «синкопированной алгебры», то есть к тому времени, когда в алгебр переходили от чисто риторического изложения (то есть словесного) к использованию более кратких записей при помощи сокращенных слов и некоторых символов. Так, для изображения неизвестного числа Диофант вводит обозначение S', а когда это неизвестное употребляется во множественном числе, то упомянутое обозначение удваивается. Для каждой степени неизвестного вводились соответствующие синкопированные обозначения. Для обозначения вычитания употребляется знак , а для равенства — буква I. Уменьшаемое писалось раньше вычитаемого, а числовые коэффициенты — после неизвестных. Непосредственное следование одной записи за другой означало действие сложения.

Отрицательные числа Диофанту известны не были, но когда приходилось умножать разность двух чисел на разность двух других чисел, то Диофант пользовался, правилом: «отнимаемое число, будучи умножено на отнимаемое, дает прибавляемое, а, будучи умножено на прибавляемое, дает отнимаемое».

При решении уравнений Диофант признавал только положительные рациональные ответы, и притом для квадратного уравнения он всегда вычислял только один ответ, если уравнение имело два рациональных и положительных корня. Каким методом он решал квадратные уравнения, неизвестно, так как в сохранившихся до нашего времени книгах этого объяснения не дано. Для решения уравнения 1-й степени Диофант прибегал к приемам, описанным им следующим образом: «Если теперь в какой-нибудь задаче те же степени неизвестного встречаются в обеих частях уравнения, но с разными коэффициентами, то мы должны вычитать равные из равных, пока не получим одного члена, равного одному числу. Если в одной или в обеих частях есть члены вычитаемые, то эти члены должны быть прибавлены к обеим частям так, чтобы в обеих частях были только прибавляемые. Затем снова нужно отнимать равные от равных, пока не останется только по одному члену с каждой стороны». Таким путем Диофант достигал того, чего мы добиваемся перенесением известных членов в одну сторону равенства, а неизвестных — в другую, приведением подобных членов и делением на коэффициент при неизвестном. При этом надо отметить, что Диофант, как и все древние математики, избегал действия деления, заменяя его повторным вычитанием.

VII. Теон и Гипатия

Учеными, завершившими цикл математиков Александрийской школы, были Теон (IV в.) и его дочь Гипатия (370—415).

Теон проделал большую работу, комментируя труды Евклида и Птолемея. Что же касается Гипатии, то, по отзывам историков, она обладала большими знаниями в области математики и философии и комментировала труды Архимеда. Диофанта и Аполлония. Она является первой известной в истории математики женщиной-математиком. Ей принадлежат также философские труды по толкованию Платона, Аристотеля я других греческих философов. До нашего времени не сохранилось ни одного из трудов Гипатии. Высокая ученость и красноречие, которыми обладала Гипатия, ее деятельное участие в общественных делах города создали ей популярность в Александрии, но вместе с тем вызвали ненависть со стороны христианских религиозных фанатиков к ученой «язычнице». В 415 г. она по подстрекательству епископа Кирилла была растерзана толпой христианских изуверов. Последователи и ученики Гипатии, которым удалось спастись от преследования, бежали в Афины.

VIII. Упадок Александрийской школы

Папп и Диофант явились последними представителями александрийских математиков, внесших в математику новые идеи. В дальнейшем значение александрийских ученых снижается все более и более. Это объясняется как внутренними, так и внешними условиями работы в Александрийской школе. Государственный строй, в условиях которого развивались науки в Афинских и Александрийских школах, строй, основанный на рабском труде, не мог способствовать дальнейшему росту научных знаний. В первые годы существования Александрийской школы Птолемея были созданы весьма благоприятные условия для научной работы, так как это было выгодно для правящих классов: надо было создать сильное и богатое государство, приносящее и личную выгоду Птолемеям.

Развитие техники военного дела, астрономии, географии, торгового дела и промышленности требовало и быстрого развития математики, а потому математика и имела все данные для своего роста и вширь и вглубь. Но когда материальные потребности правящих классов были удовлетворены достигнутыми успехами наук, то не стало и стимула для поощрения дальнейшего роста научных знаний. Таковы внутренние условия, вызвавшие упадок математических наук в Александрии. Но, кроме них, существовали и условия внешнего характера. Уже задолго до начала нашей эры стало все более сказываться притязание Рима на овладение территорией, на которой была расположена Александрия. В 47 г. до н. э., во время войны ЮлияЦезаря против Александрии, была сожжена ее замечательная библиотека. Затем она была восстановлена; но когда Рим окончательно овладел Александрией, началась жестокая вражда между христианами и язычниками. Религиозная рознь отозвалась и на науке, так как, во-первых, в науку стала проникать христианская мистика (что отозвалось, например, на творениях Никомаха), а, во-вторых, христианские фанатики стали преследовать все языческое, в том числе и «языческую» науку. По приказанию патриарха Теофила в 391 г. в Александрии был разрушен храм бога Сераписа, а вместе с храмом погибла и библиотека. Дни Александрийской школы были сочтены.

Таков был конец Александрийской математической школы.

Последний кратковременный расцвет математических наук в Греции отмечается в V - VI вв. в Афинах. Афинская школа этой эпохи работала главным образом над толкованием работ математиков прежних веков: Евклида, Архимеда и др. Но и эта школа в 529 г. была закрыта по распоряжению императора Юстиниана как «языческая мерзость».

IX. Заключение

Из приведенного выше очерка развития математических знаний в Древней Греции можно видеть, что за более чем полуторатысячелетний период времени математическая наука в Греции имела значительные достижения. Это относится главным образом к элементарной геометрии, которая в трудах Фалеса, Пифагора, Платона и в особенности Евдокса, Евклида и Архимеда приобрела то содержание, которое сохраняется и в настоящее время. В этой области греческие математики сумели построить вполне научную основу и дали строго дидактическое изложение теории. От греков мы получили и основы всей геометрической терминологии. Что жекасается других разделов математики (арифметики, алгебры и тригонометрии), то в них были заложены некоторые основы науки, но полного развития эти разделы у греков не получили. Как мы видели ранее, греки в своих арифметических исследованиях отрывались от практического счета, строго отделяя арифметику от логистики, и это в значительной мере тормозило развитие арифметики, так как никакая наука не может развиваться в отрыве от практики. Развитию алгебры препятствовало то, что еще недостаточно вошли в употребление символические записи, намек на которые мы впервые встречаем в трудах Диофанта, пользовавшегося лишь отдельными символами и сокращениями записи. Свое значение алгебра приобрела много позднее, когда в связи с развитием символики смогла помочь и практическим расчетам, и научным обобщениям. По отношению к тригонометрии мы можем сказать, что в Греции тригонометрия не получила самостоятельного значения, а являлась лишь вспомогательным вычислительным аппаратом для астрономических наблюдений.

Однако если рассматривать развитие в Древней Греции элементарной математики в целом, то мы должны признать, что обязаны грекам очень большими достижениями на этом пути.

X. Список используемой литературы

Рыбников К. А. История математики: Учебник. – М.: Изд-во МГУ, 1994. – 496 с.

Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: Наука, 1967

Стройк Д. Краткий очерк истории математики. М.; Л.: Наука, 1990

Колмогоров А. Н. Математика // БСЭ. 2-е изд. Т. 26, 464 - 483