Оценивание смещения статистики взаимной спектральной плотности многомерного временного ряда (стр. 2 из 4)
Смешанным семиинвариантом ( кумулянтом )
го порядка, 
, случайного процесса 
, 
, называется функция вида 
, 
, 
,которую также будем обозначать как
.Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами
го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид 
(1.1) 
(1.2) 
суммирование по всевозможным разбиениям множества 
.Спектральной плотностью случайного процесса
, 
, называется функция вида 
= 
, 
,при условии, что
.Из определения видно, что спектральная плотность
непрерывная, периодическая функция с периодом, равным 
по каждому из аргументов.Семиинвариантной спектральной плотностью
го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида 
= 
, 
,при условии, что
.Лемма 1. Для любого целого
справедливо соотношение 
(1.3)Теорема 1. Для смешанного семиинварианта
го порядка, , случайного процесса справедливы представления 
, (1.4)Доказательство. Домножая обе части соотношения (1.1) на
, 
, и интегрируя обе части полученного неравенства по
на 
, получим 
.Используя лемму 1, получим при
требуемый результат. Теорема доказана.Лемма 2. Если функция
интегрируема и периодична с периодом 
, то для любого действительного 
имеет место соотношение
Доказательство. Предположим, что
>0. Можно записать 
В третьем слагаемом правой части последнего равенства сделаем замену переменных интегрирования
и, учитывая периодичность с периодом функции , получаем требуемое. Случай, когда <0, доказывается аналогично. Лемма доказана.Спектральной плотностью случайного процесса
, , называется функция вида = , ,при условии, что
.Из определения видно, что спектральная плотность
непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.2. ОЦЕНИВАНИЕ СМЕЩЕНИЯ СТАТИСТИКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс
, 
, с математическим ожиданием 
, 
, взаимной ковариационной функцией 
, и взаимной спектральной плотностью 
.