Оценивание смещения статистики взаимной спектральной плотности многомерного временного ряда (стр. 3 из 4)

Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений

за составляющей , рассматриваемого процесса . Как оценку взаимной спектральной плотности в точке рассмотрим статистику

(2.1)

где

, - произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция, для , а

(2.2)

s – целое число,

- целая часть числа .

Статистика

, называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением

(2.3)

определено равенством (2.2).

Известно, если

рассматривать как оценку взаимной спектральной плотности в точке , то она является асимптотически несмещенной, но не состоятельной оценкой этой спектральной плотности. Заметим, что оценка (2.1) взаимной спектральной плотности построена путем осреднения значений периодограммы в точках некоторой весовой функцией .

Лемма 3. Для любого действительного

, и любого справедливо неравенство

где

- ядро Фейера, задаваемое равенством

(2.4)

, а

, (2.5)

Доказательство. Учитывая чётность функции

и элементарное неравенство

(2.6)

справедливое для всех x, таких, что

, имеем

Сделаем замену переменной интегрирования

тогда правая часть последнего неравенства примет вид

Применив для оценки первого интеграла, стоящего в квадратных скобках, неравенство

, а для оценки второго – неравенство , получим

Лемма доказана.

Проведен численный анализ для соотношения (2.5) при Т=100 и при

, T , где T- число наблюдений и получены следующие результаты

0,1	0.663138	2.13239
0,2	0.447986	1.48005
0,3	0.308154	1.04694
0,4	0.216092	0.7554
0,5	0.154768	0.556644
0,6	0.113483	0.41954
0,7	0.085422	0.323925
0,8	0.06619	0.256576
0,9	0.0529213	0.208718
1	0.0437283	0.348932

α
0,1	0.663138	1.63184
0,2	0.447986	1.10052
0,3	0.308154	0.755087
0,4	0.216092	0.527538
0,5	0.154768	0.375825
0,6	0.113483	0.273535
0,7	0.085422	0.203842
0,8	0.06619	0.155894
0,9	0.0529213	0.122613
1	0.0437283	0.0993358

3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ

Для выделения определенных характеристик спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собой умножение ряда на «окно данных».

При определении расширенного конечного преобразования Фурье, задаваемого соотношением

введена функция

, называемая окном просмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).

Функцию

(3.1)

называют частотным окном. Из соотношения (3.1) вытекает, что

Характерное поведение функции

состоит в том, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при .

Примеры окон просмотра данных:

1.

1 – окно Дирихле;

2.

1- – окно Фейера;

3.

;

4.

– окно Хэннинга;

5.

– окно Хэмминга;

6.

– окно Хэмминга;

7.

, где – окно Хэмминга;

8.

1- – окно Рисса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе исследована оценка спектральной плотности вида

где

, а периодограмма задана следующим соотношением

Оценивается смещение данной спектральной плотности. Построены графики этой оценки для различных окон данных на основании наблюдений за солнечной активностью по Вольфу с 1749 г. по 1901 г.