Суммирование расходящихся рядов (стр. 4 из 5)

(9)

то одновременно и

. Впрочем, здесь она непосредственно вытекает из легко проверяемого тождества

которое для данного случая указывает даже на необходимость условия (9).

Харди установил, что заключение от

можно сделать не только, если

, но и при более широком предположении, что

(

Ландау показал, что можно удовольствоваться даже “односторонним” выполнением этого соотношения;

Теорема. Если ряд (А) суммируем к “сумме” А по методу средних арифметических и при этом выполняется условие

(

),то одновременно и

[Изменяя знаки всех членов ряда, видим, что достаточно также предположить неравенство другого смысла:

В частности, теорема, очевидно приложима к рядам с членами постоянного знака.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим сначала сумму

где nи k- произвольные натуральные числа; путем тождественного преобразования она легко приводится к виду

(10)

Если взять любое

(при

), то используя предположенное неравенство

, можно получить такую оценку снизу:

откуда, суммируя по m, найдем

Отсюда, сопоставляя с (10), приходим к такому неравенству:

. (11)

Станем теперь произвольно увеличивать п до бесконечности, а изменение kподчиним требованию, чтобы отношение

стремилось к наперед заданному числу

. Тогда правая часть неравенства (11) будет стремиться к пределу

, так что для достаточно больших значений п будет

. (12)

Совершенно аналогично, рассматривая сумму

и проведя для

(при

) оценку сверху:

придем к неравенству

Отсюда

Если

и одновременно

, как и прежде (но на этот раз пусть

), то правая часть этого неравенства стремится к пределу

Следовательно, для достаточно больших nокажется

. (13)

Сопоставляя (12) и (13), видим, что, действительно,

Теорема доказана.

3.4 Применение обобщенного суммирования к умножению рядов

Остановимся на применении обобщенных методов суммирования в вопросе об умножении рядов по правилу Коши. Пусть, кроме ряда (А), дан ещё ряд

(В)

тогда ряд

(С)

и называется произведением рядов (А) и (В) в форме Коши. Если данные ряды сходятся и имеют обыкновенные суммы А и В, то ряд (С) все же может оказаться расходящимся.

Однако во всех случаях ряд (С) суммируем по методу Пуассона-Абеля и именно к сумме АВ.

Действительно, для 0<x<1 ряд (1) равно как и ряд

оба абсолютно сходятся; обозначим их суммы, соответственно, через

. Произведение этих рядов, то есть ряд

По классической теореме Коши также сходится и имеет суммой произведение

. Эта сумма при

стремится к АВ, ибо как мы видели, по отдельности

Итак, “обобщенной (в смысле Пуассона-Абеля) суммой” ряда (С) действительно будет АВ, что и требовалось доказать.

Отсюда как следствие получается теорема Абеля об умножении рядов. Равным образом из самого доказательства ясно, что то же заключение остается в силе, если ряды (А) и (В) - вместо того, чтобы сходиться в собственном смысле - лишь суммируемы по методу Пуассона-Абеля к суммам А и В.

В таком случае, учитывая теорему Фробениуса, можно сделать и следующее утверждение: если (А), (В) и (С) суммируемы в смысле Чезаро и имеют, соответственно, “обобщенные суммы" А, В и С, то необходимо С=АВ.

В качестве примера рассмотрим возведение в квадрат ряда

который получается из биномиального разложения

при х=1. умножая указанный числовой ряд на самого себя, придем к хорошо знакомому нам ряду

“обобщенная сумма" которого есть

Далее, “возведем в квадрат" и этот расходящийся ряд. Мы получим ряд

“обобщенная сумма" которого в смысле Пуассона-Абеля есть

Глава 4. Другие методы обобщенного суммирования

4.1 Методы Г.Ф. Вороного

Пусть мы имеем положительную числовую последовательность

Из частичных сумм

ряда (А) составим выражения

Если

при

то А называется “обобщенной суммой” ряда (А) в смысле Вороного - при заданном выборе последовательности

Теорема.

Для регулярности метода Вороного необходимо и достаточно условие.

Доказательство. Необходимость.

Допустим сначала регулярность рассматриваемого метода: пусть из

всегда следует и

. Если, в частности, взять ряд

для которого

а прочие

(так что и

), то необходимо