Теория вероятности и математическая статистика 2 (стр. 2 из 3)

, при 9,55 < x < 10,05

можем записать эмпирическую функцию и изобразить графически:

0 при х ≤ 9,35

при 9,35 < x < 9,45

, при 9,45 < x < 9,55

1 при 9,55 ≤ x

с) Вычислим числовые характеристики:

1. выборочную среднюю;

,

в данной задаче в качестве x_i возьмём серидины интервалов, а n_i – соответствующие этим интервалам частоты.

≈ 7,18

2. выборочное среднее квадратичное отклонение;

,

≈ - ≈ 38,87

6,23

3. асимметрию;

,

≈ 12,74

≈ 0,05

4. эксцесс;

,

≈ 30

-3 = -2,98017 ≈ -3

5. коэффициент вариаций.

0,87

d) По виду гистограммы и полигона, а также по значению выборочных коэффициентов а_x и е_х и, исходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.

Решение:

Сделаем предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.

· а_x= 0,05 и е_х = -3, что неприемлимо для нормального закона распределения.

· М(х) = σ(х) – для показательного закона распределения. Здесь имеем М(х) =

= 7,18, а
σ(х) = 6,23 => отпадает версия о показательном распределении.

· При законе распределения Пуассона М(х) = D(х) = а. В данной задаче М(х) = 7,18, а

D(х)=d_B=

= ≈
≈ 5,44 => и этот закон отпадает.

· Таким образом, сходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х можно сделать вывод-предположение, что она распределена по биноминальному закону распределения.

е) Определим точные оценки параметров нормального закона распределения а и b, предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, запишем плотность распределения вероятностей f(x).

Предположим, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону распределения, тогда параметр а – это математическое ожидание М(х), а параметр b – это среднее квадратичное отклонение σ(х).

Плотность распределения вероятностей f(x) будет выглядеть так:

а = М(х) = 7,18 , b = σ(х) = 6,23.

f) Найдём теоретические частоты с нормальным законом с помощью основных критериев согласия – критерия Пирсона и критерия Колмагорова.

При нахождении теоретических частот

за оценку математического ожидания и среднего квадратического ожидания нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик и σ_в , т.е.

m =

= 7,18 , G = σ_в = 6,23

, где n – объём выборки, n = 14

р_i – величина попадания значения нормально распределённой случайной величины в i-ый интервал.

р_i = р (а_i < x ≤ b_i ) ≈

,

,

ai	bi	ni	T1i	T2i	1/2 Ф(T1i)	1/2 Ф(T2i)	pi	pi*n	Mti
9,35	9,45	5	0,35	0,36	0,1847	0,19465	0,00995	0,04975	0,05
9,45	9,55	7	0,36	0,38	0,19465	0,2045	0,00985	0,06895	0,07
9,55	10,05	2	0,38	0,46	0,2045	0,24235	0,03785	0,0757	0,08

g) Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95).

, γ = 0,95.

где

= δ – точность оценки,

n – объём выборки,

t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t) =

= 0,475 => t = 1,96

δ = 1,96 *

= 3,27

7,18 – 3,27 <

< 7,18 + 3,27

3,91 <

< 10,45

S =

= = ≈ 5,86 ,

где S – исправленное среднее квадратическое отклонение

S( 1 - q) < σ < S( 1 + q) если q < 1

0 < σ < S( 1 + q) если q < 1

По данным задачи γ = 0,95 и n = 14 в специальном приложении найдём q = 0,48< 1. Итак:

6,23*( 1 – 0,48) < σ < 6,23*( 1 + 0,48)

3,2396 < σ < 9,2204

3,2 < σ < 9,2

Математическое ожидание найдём при неизвестном σ нормального распределения.

По таблице в специальном приложении к учебнику определим t_γ => t_γ= 2,16

6,23 – 2,16*

2,8535

9,6157

2,9

9,6

8. Зависимость между признаками X и Y задана корреляционной таблицей. Требуется:

а) вычислить выборочный коэффициент корреляции;

b) составить уравнение прямых линий регрессии X на Y и Y на X.

X – стрела кривизны рельса, см.

Y – количество дефектов рельса, см на 25 м.

Y X	6,75-7,25	7,25-7,75	7,75-8,25	8,25-8,75
0	2	1	2
5	1	2
10	1
15	2	4
20	1	1	3

Решение

а) вычислим выборочный коэффициент корреляции;

, C_xy = M(xy) – M(x)M(y) , M(xy) =

YX	6,75-7,25	7,25-7,75	7,75-8,25	8,25-8,75	nx
	7	7,5	8	8,5
0	2	1	2	5
5	1	2	3
10	1	1
15	2	4	6
20	1	1	3	5
ny	2	5	3	10	20

M(x) = m_x =

M(x) = m_x = 20*

+ 15* + 10* + 5* + 0 =
= 10,75