Теория вероятности и математическая статистика 2 (стр. 1 из 3)

Министерство образования и науки

Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Филиал государственного образовательного учреждения

Высшего профессионального образования

«Тюменский государственный университет»

В г. Тобольске

Специальность «Финансы и кредит»

Контрольная работа

Предмет: «Теория вероятности и математическая статистика»

Вариант №8

Выполнила:

№ зачетной книжки:

№ группы:

Домашний адрес:

Тобольск, 2009

1. На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово «ЖУК»?

Решение

Вариант получившегося слова является размещением 3-х элементов по 3.

N(n-1)(n-2)…(n-k+2)(n-k+1)=

Отсюда получаем:

Число таких вариантов равно:

Из этих вариантов правильным будет только один, т.е. m=1, тогда по классическому определению вероятности

2. Какое из восьми вычислительных устройств обслуживается одним оператором? В штатном составе вычислительного центра имеется 6 операторов. Назначение оператора на данное вычислительное устройство производится наудачу. Найти вероятность того, что первые шесть вычислительных устройств будут обслужены.

Решение

Поскольку количество испытаний не велико (n=8), то для нахождения вероятности того, что событие А появится точно k=6 раз воспользуемся формулой Бернулли:

, где q=1-p

По условию задачи вероятность назначения оператора равна

, значит

3. Опыт состоит в четырехкратном выборе с вращением одной из букв алфавита Е={а, б, о, м} и выкладывании слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что в результате будет выложено слово «мама»?

Решение

Число элементарных исходов равно числу размещений с повторениями из четырёх элементов по четыре элемента, т.е.

N =

=

Слову «мама» соответствует лишь один исход. Поэтому

Р(А) =

= 0,00390625 ≈ 0,004

Ответ: 0,004.

4. 70% деталей, поступающих на сборку, изготовлены автоматом, дающим 2% брака, а остальные детали автоматом, дающим 5% брака. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена первым автоматом?

Решение

детали брак

1 автомат 70% 2%

2 автомат (100-70)% 5%

Введём обозначения для событий: А - взятая деталь оказалась бракованной; В₁, В₂ – эта деталь изготовлена соответственно первым и вторым автоматом. Имеем:

Р(В₁) = 0,7; Р(В₂) = 0,3

=0,02 = 0,05

По формуле Байеса Р_А(В_k) =

(k = 1, 2, …, п) находим

Р_А(В₂) =

= = ≈ 0,52

5. В первый класс должны были принять 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажутся 100 девочек, если вероятность рождения мальчиков равна 0,515.

Решение

Пусть событие А состоит в том, что в первый класс приняли 200 детей, девочек будет 100. Поскольку количество испытаний велико (n=200), то для нахождения вероятности того, что событие А появится ровно k=100 раз воспользуемся локальной теоремой Лапласса:

, где и F(x) – диф. функция Лапласса-Гаусса.

По условию задачи вероятность рождения мальчиков равна q=0.515,значит

вероятность рождения девочек равна p=1-q=1-0.515=0.485

Определим аргумент функции Лапласса-Гаусса x:

По таблице значений функций Лапласса определяем, что F(0,42)=0,1628

Теперь

6. Случайная величина Х задана функцией f(x). Определить: а) плотность распределения f(x); b) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a,b); с) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить график функций F(x) и f(x).

Решение

0 x ≤ -1,5

а) f(x) = F'(x) f(x) =

-1,5 < x ≤ 1,5

0 x > 1,5

b)P (a ≤ x ≤ b) =

=>

= > P (-1,5 ≤ x ≤ 1,5) =

= = (1,5 - 0,5) = ≈ 0,33

c)М(х)=

= = = ≈ 0,75

D(x)=

= = 3,9375 ≈ 4

Построим графики F(x) и f(x)

7. Даны результаты наблюдений некоторой случайной физической величины Х, сгруппированные в статистический ряд.

а) Построить гистограмму и полигон частот.

b) Составить эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически.

с) Вычислить числовые характеристики:

1) выборочную среднюю;

2) выборочное среднее квадратичное отклонение;

3) асимметрию;

4) эксцесс;

5) коэффициент вариаций.

d) По виду гистограммы и полигона, а также по значению выборочных коэффициентов а_x и е_х и, исходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.

е) Определить точные оценки параметров нормального закона распределения а и b, предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, записать плотность распределения вероятностей f(x).

f) Найти теоретические частоты с нормальным законом с помощью основных критериев согласия – критерия Пирсона и критерия Колмагорова.

g) Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95).

Время выполнения упражнения (с):

Границы интервалов	9,35-9,45	9,45-9,55	9,55-10,05
Частоты	5	7	2

Решение

Границы интервалов	9,35-9,45	9,45-9,55	9,55-10,05
Середины интервалов	9,40	9,50	9,80
Частоты	5	7	2	п = 14

а) Построим гистограмму и полигон частот.

Гистограмма частот

Полигон частот

b) Составим эмпирическую функцию распределения и изобразим ее графически.

Найдём объём выборки: n = 5 + 7 + 2 = 14

Зная, что

0 при x < x₁

при x_k ≤ x ≤ x_k+1 (k € N)

1 при x ≤ x_s

, при 9,35 < x < 9,45

, при 9,45 < x < 9,55