Конечно-разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (стр. 6 из 8)
Очевидно, стоит рассчитывать на бо́льшую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:
Учитывая бо́льшую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников
Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.
Площадь трапеции на каждом отрезке:
Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:
Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Этот метод получил название метода парабол или метода Симпсона.
Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид
.Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем
Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (1 – методы правых и левых прямоугольников, 2 – методы средних прямоугольников и трапеций, 3 – метод парабол (Симпсона)). Если можно выбирать точки, в которых вычисляется значения функции f(x), то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Этот способ реализован в методе Гаусса.
Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 1-го, а 3-го порядка точности:
.В общем случае, используя n точек, можно получить метод с порядком точности 2n − 1. Значения узлов метода Гаусса по n точкам являются корнями полинома Лежандра степени n.
Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.
Метод Гаусса-Конрада позволяет оценить точность значения интеграла, вычисленного методом Гаусса.
В численном интегрировании имеются труды Чебышева, интегрирование при бесконечных пределах рассмотрены в методе Самокиша, существуют методы Монте-Карло, применяемые в многомерных случаях, методы Рунге-Кутта.
2. Конечно-разностный метод решения краевых задач.
для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Примером краевой задачи является двухточечная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:
с граничными условиями, заданными на концах отрезка [a; b]:
Следует найти такое решение у(х) на этом отрезке, которое принимает на концах отрезка значения у0, у1. Если функция
линейна по аргументам 
, то задача поиска этой функции – линейная краевая задача, в противном случае – нелинейная..Кроме граничных условий, задаваемых на концах отрезка и называемых граничными условиями первого рода, используются еще условия на производные от решения на концах - граничные условия второго рода:
или линейная комбинация решений и производных – граничные условия третьего рода:
где
– такие числа, что 
Возможно на разных концах отрезка использовать условия различных типов.
Наиболее распространены два приближенных метода решения краевой задачи:
- метод стрельбы (пристрелки);
- конечно-разностный метод.
Используя конечно-разностный метод, рассмотрим двухточечную краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка на отрезке [а; b].
Введем разностную сетку на отрезке [а; b]:
Решение задачи будем искать в виде сеточной функции:
предполагая, что решение существует и единственно.
Введем разностную аппроксимацию производных следующим образом:
Подставляя эти аппроксимации производных в исходное уравнение, получим систему уравнений для нахождения yk:
Приводя подобныечлены и учитывая, что при задании граничных условий первого рода два неизвестных уже фактически определены, получим систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов:
Для этой системы уравнений при достаточно малых шагах сетки h и q(xk) < 0выполнены условия преобладания диагональных элементов:
что гарантирует устойчивость счета и корректность применения метода прогонки для решения этой системы.
В случае использования граничных условий второго и третьего рода аппроксимация производных проводится с помощью односторонних разностей первого и второго порядков:
В первом случае линейная алгебраическая система аппроксимирует дифференциальную задачу в целом только с первым порядком (из-за аппроксимации в граничных точках), однако сохраняется трех диагональная структура матрицы коэффициентов. Во втором случае второй порядок аппроксимации сохраняется везде, но матрица линейной системы не трехдиагональная.
Пример.Решить краевую задачу:
с шагом 0,2.Здесь р(х) = х; q(x) = 1; f(x) = 0; N = 5; x0 = 0; x1 = 0,2; x2 = 0,4; x3 = 0,6; x4 = 0,8; x5 = 1;
Во всех внутренних узлах отрезка [0; 1]после замены производных их разностными аналогами получим:
На левой границе y0 = 1, на правой границе аппроксимируем производную односторонней разностью 1-го порядка:
С помощью группировки слагаемых, приведения подобных членов и подстановки значений xk, а также с учётом у0 = 1,получим систему линейных алгебраических уравнений:
.В результате решения системы методом Крамера в Excel, получим:
Решением краевой задачи является табличная функция:
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| xk | 0 | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 |
| yk | 1,0 | 0,772 | 0,583 | 0,431 | 0,313 | 0,223 |
3. Расчетная часть
3.1. Найти действительные корни уравнения
методами простых итераций и касательных (Ньютона) с точностью до 0,00001.Решение: Для нахождения корня уравнения предварительно отделим корень уравнения графическим методом, записав уравнение в виде:
Построим в осях ХОУ графики функций:
:Линии графиков пересекаются в единственной точке с абсциссой х0, лежащей в интервале [0,5; 0,6], т.е.
а = 0,5; b = 0,6.
Значение функции
на концах интервала: 