Конечно-разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (стр. 7 из 8)

Т.к. знаки различны, то уравнение имеет единственный корень в интервале [0,5; 0,6].

3.1.1. Уточнение корня методом простых итераций.

Приведём исходное уравнение к виду:

φ(x) = x + С·f(x).

Т.к. первая производная заданной функции

в этом интервале положительна и численно первая производная на этом участке близка к 1,5, то константу С выбираем из интервала:

Примем С = – 1.

Т.о. итерационная функция приобретает вид:

φ(x) = x – f(x).

Делаем первую итерацию:

Делаем вторую итерацию:

Делаем третью итерацию:

Делаем четвёртую итерацию:

Делаем пятую итерацию:

Делаем шестую итерацию:

Делаем седьмую итерацию:

Делаем восьмую итерацию:

Делаем девятую итерацию:

Продолжая далее, получаем:

На 19-ой итерации изменение шестого знака после запятой, позволяет утверждать, что пятый знак – после запятой – 5. Т.о. значение корня с заданной точностью:

х₀ = 0,57615

3.1.2. Уточнение корня методом касательных (метод Ньютона):

Т.к. уравнение то же, то интервал, содержащий искомый корень, оставляем тот же [0,5; 0,6], т.е. а = 0,5; b = 0,6.

Находим первую и вторую производную функции

:

Очевидно необходимые условия выполняются, т.к.:

, т.е. сохраняют знак на отрезке .

Выполняем первое приближение (х₀ = 0,5):

Выполняем второе приближение (х₁ = 0,571429):

Выполняем третье приближение (х₂ = 0,576128:

Выполняем четвёртое приближение (х₃ = 0,576146):

В пределах заданной точности f(x₂) оказался равен нулю, т.е. требуемая точность достигнута за 4 шага. Значение корня с заданной точностью:

3.2. Вычислить приближенное значение интеграла

, используя формулы:

а) трапеций (n = 10); б) Симпсона (n = 10); в) Гаусса (n = 5).

Решение: Ограничимся в расчётах 4 знаками после запятой. Для приближённого вычисления определённого интеграла методом трапеций используется формула:

Разобьём интервал (–1; 9) на n = 10 отрезков (h =1) и вычислим значения подынтегрального выражения для начала и конца каждого отрезка.

№	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	2,4495	2,6458	3,7417	5,7446	8,3666	11,4455	14,8997	18,6815	22,7596	27,1109	31,7175

Тогда по формуле трапеций, имеем:

Используя формулу Симпсона (формулу параболических трапеций) в виде:

получим:

Применяя к исходному интегралу квадратурную формулу Гаусса, имеем:

где

Для n = 5, коэффициенты t_i, представляющие нули полинома Лежандра и коэффициента А_i (эти значения табулированы в справочных таблицах) составляют:

i	1	2	3	4	5
ti	–0,9061	–0,5385	0	0,5385	0,9061
A1	0,2369	0,4786	0,5689	0,4786	0,2369
хi	0,4695	2,3075	5	7,6925	9,5305
	2,4705	4,2763	11,4455	21,4756	29,5239

Тогда:

3.3. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона по следующим табличным данным:

	2,9	4,4	6,3	9,7
	2,84	4,53	6,04	5,50

Проверить совпадение значений интерполирующего многочлена с табличными значениями функции в узлах интерполяции.

Решение: Интерполяционный полином Лагранжа для четырёх узлов интерполяции записывается в виде:

Подставим численные значения из заданной таблицы:

Для составления интерполяционного полинома в форме Ньютона, вычислим разности первого порядка для заданной таблицы по формуле:

Вычислим разности второго порядка по формуле: