Конечно-разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (стр. 8 из 8)

Вычислим разность третьего порядка по формуле:

Тогда интерполяционный полином Ньютона L_n(x) приобретает следующую форму:

Расчёты показывают, что оба интерполяционных полинома практически одинаковы, т.е. интерполяция ряда точек полиномом третьей степени осуществляется единственным образом.

По заданным узлам интерполяции х_i значения полинома по этому уравнению составляют:

х	2,9	4,4	6,3	9,7
L_n(x)	2,840133	4,530614	6,041651	5,504897
f(x)	2,84	4,53	6,04	5,50

Расчётные значения практически совпадают с заданными значениями f(x).

По полученному уравнению построена кривая, проходящая через узлы интерполяции.

3.4. Найти оценки параметров линейной

и квадратичной

моделей функциональной зависимости величин у и х по результатам наблюдений

, приведенным в таблице:

	0,4	2,4	3,4	4,4	5,4
	2,14	2,14	2,24	2,34	2,34

Построить чертеж: на плоскости нанести экспериментальные точки

, построить графики полученных эмпирических функций

Решение: Коэффициенты "a₀ и а₁" линейной модели найдём, выполнив необходимые вычисления. Расчеты сведем в таблицу:

Номер наблюдения	1	2	3	4	5	Сумма
х	0,4	2,4	3,4	4,4	5,4	16
у	2,14	2,14	2,24	2,34	2,34	11,2
х²	0,16	5,76	11,56	19,36	29,16	66
х∙y	0,856	5,136	7,616	10,296	12,636	36,54
	2,108	2,202	2,249	2,297	2,344	11,200
	0,0011	0,0039	0,0001	0,0019	0,0000	0,0069

Тогда:

Т.о. линейная зависимость у = а₀ + а₁х имеет вид: у = 2,08865 + 0,0473х.

По этой зависимости определены выровненные значения

и остаточная сумма квадратов отклонений, которые записаны в нижних строках таблицы.

Коэффициенты а₀, а₁, а₂квадратичной зависимости найдём, также выполнив необходимые расчёты в таблице:

Номер наблюдения	1	2	3	4	5	S
х	0,4	2,4	3,4	4,4	5,4	16
у	2,14	2,14	2,24	2,34	2,34	11,2
х²	0,16	5,76	11,56	19,36	29,16	66
х³	0,064	13,824	39,304	85,184	157,464	295,84
х⁴	0,0256	33,1776	133,634	374,81	850,306	1391,95
у·х	0,856	5,136	7,616	10,296	12,636	36,54
у·х²	0,3424	12,3264	25,8944	45,3024	68,2344	152,1
	2,128	2,182	2,230	2,292	2,368	11,200
	0,0001	0,0018	0,0001	0,0023	0,0008	0,0051

Составим систему уравнений:

Решение этой системы методом Крамера даёт:

Т.о. квадратичная зависимость у = а₀ + а₁х + а₂х² имеет вид:

у = 2,12433 + 0,00729·х + 0,006996·х².

В нижней строке таблицы по полученному уравнению тоже рассчитаны значения

по заданным значениям Х и остаточная сумма квадратов отклонений, которые записаны в нижних строках таблицы.

Эмпирическая ломаная, а также линии линейной и квадратичной модели построены на рисунке.

Результаты и выводы.

1. Т.о. интерполяционный полином Лагранжа и Ньютона, построенный по 4 заданным узлам интерполяции имеет вид:

Значения функции, вычисленные по этому полиному третьей степени, точно совпадают с заданными значениями в узлах интерполяции.

Полученное уравнение позволяет найти приближённые значения функции в любых промежуточных точках от х₁ = 2,9 до х₄ = 9,7.

2. Применение метода минимальных квадратов (МНК) к аппроксимации пяти экспериментальных точек линейной зависимостью вида у = а₀ + а₁х, т.е. прямой линией и квадратичной зависимостью вида

, т.е. параболой дало следующие выражения:

– линейная зависимость реализована уравнением: у = 2,0887 + 0,0473х

– квадратичная зависимость реализована уравнением: у = 2,1243 + 0,0073·х + 0,007·х².

Судя по остаточной сумме квадратов отклонений, квадратичная зависимость несколько лучше аппроксимирует экспериментальные данные, т.к. для неё остаточная сумма квадратов отклонений меньше, чем для линейной функции.

Список использованной литературы

1. Самарский А.А. Гулин А.В. Численные методы. М. МГУ. 1989 год.

2. Н. С. Бахвалов; Н.П. Жидков; Г.М. Кобельков. Численные методы. М 2003 год;

3. В.А. Буслов, С.Л.Яковлев. Численные методы иисследование функций. СПГУ. Курс лекций. СПБ 2001 г

4. Г.А. Зуева. Метод наименьших квадратов и его применение. Электронное учебное пособие. Иваново, 2009