ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (г. КАЗАНЬ)
Кафедра высшей математики
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
НА ТЕМУ:
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Конечно-разностный метод решения краевых задач
для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Выполнил:
студент группы № _____
дневного (заочного) отделения
факультета менеджмента и маркетинга
специальность: управление качеством
_______________________________
номер зачетной книжки __________
контактный телефон: ____________
Руководитель:
доц. Лебедев В.Н.
Казань – 2010 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Ведение ……………………………………………………………………………….3
1. Общая теоретическая часть………………………………………………………..4
1.1. Действия с приближёнными величинами……………………………………....4
1.2. Основные численные методы……………………………………………………7
1.2.1. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений…………………...7
1.2.2. Интерполяция функций………………………………………………………..10
1.2.3. Метод наименьших квадратов и его применения……………………………11
1.2.4. Численное интегрирование……………………………………………………14
2. Конечно-разностный метод решения краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений……………………………………………………...16
3. Расчетная часть…………………………………………………………………….18
3.1. Поиск действительных корней уравнения……………………………………..18
3.2. Приближеннее вычисление интеграла………………………………………….20
3.3. Построение интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона………...21
3.4. Оценки параметров линейной и квадратичной моделей……………………...22
Результаты и выводы…………………………………………………………………24
Список использованной литературы………………………………………………...24
ВВЕДЕНИЕ
Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию науки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.
Первая крупная проблема – овладение ядерной энергией – требует решения комплекса сложных задач физики и механики (управление работой реактора, использование энергии деления ядер урана, защита от проникающего излучения, охлаждение стенок реактора, изучение тепловых полей и упругих напряжений в стенках, решение многих других задач). Все эти задачи необходимо решать до начала работы реактора, используя для них математическое описание (модель) и проводя численные расчеты на ЭВМ.
Вторая крупная проблема – освоение космоса – связана с созданием летательных аппаратов и решением для них многих задач аэродинамики и баллистики (например, расчет движения ракеты и управление ее полетом). Здесь также имеется комплекс сложных задач механики, физики и техники, которые могут быть решены только с использованием численных методов.
Ещё одну проблема, стоящая перед человечеством – поиск новых источников энергии. Один из основных проектов получения энергии – использование реакции управляемого термоядерного синтеза ядер дейтерия и трития. Запасы термоядерного горючего на Земле практически неисчерпаемы, а продукты реакции не загрязняют среду. Однако термоядерная реакция начинается только при экстремальных условиях – при высокой температуре (порядка десятков и сотен миллионов градусов) и огромном сжатии (в тысячи раз) дейтерия и трития; кроме того, требуется удержать горючее вещество в этом состоянии в течение времени, достаточного для развития реакции горения (синтеза). Создание таких условий – пока еще нерешенная научно-техническая проблема.
Существует несколько проектов нагрева, сжатия и удержания термоядерного горючего (плазмы). При их реализации возникает много вопросов, которые надо решать до начала проектирования даже экспериментальных установок. Необходимо прежде всего изучить поведение плазмы при высоких температурах и плотностях, в магнитных полях и выяснить условия, при которых возможна сама реакция термоядерного синтеза.
Такие исследования проводятся па основе математического описания (математической модели) физических процессов и последующего решения соответствующих математических задач на ЭВМ при помощи вычислительных алгоритмов.
В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание – вычислительный эксперимент, т. е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики.
На первом этапе проводится выбор математической модели, т. е. приближенное описание процесса в форме алгебраических, дифференциальных или интегральных уравнений. Эти уравнения обычно выражают законы сохранения основных физических величин (энергии, количества движения, массы и др.). Полученную математическую модель необходимо исследовать методами теории дифференциальных уравнений.
Надо установить, правильно ли поставлена задача, хватает ли исходных данных, не противоречат ли они друг другу, существует ли решение поставленной задачи и единственно ли оно. На этом этапе используются методы классической математики. Следует отметить, что многие физические задачи приводят к таким математическим моделям, разработка теории которых находится в начальной стадии. На практике приходится решать задачи математической физики, для которых не имеется теорем существования и единственности.
Второй этап вычислительного эксперимента состоит в построении приближенного численного метода решения задачи, т. е. в выборе вычислительного алгоритма. Под вычислительным алгоритмом понимают последовательность арифметических и логических операций, при помощи которых находится решение математической задачи, сформулированной на первом этапе.
Па третьем этапе осуществляется программирование вычислительного алгоритма для ЭВМ и на четвертом этапе – проведение расчетов па ЭВМ. Деятельность по программированию должна быть тесно связана с разработкой конкретных численных алгоритмов.
Наконец, в качестве пятого этапа вычислительного эксперимента можно выделить анализ полученных численных результатов и последующее уточнение математической модели. Может оказаться, что модель слишком груба – результат вычислений не согласуется с физическим экспериментом, или что модель слишком сложна, и решение с достаточной точностью можно получить при более простых моделях. Тогда следует начинать работу с первого этапа, т. е. уточнить математическую модель, и снова пройти все этапы.
Следует отметить, что вычислительный эксперимент – это, как правило, не разовый счет по стандартным формулам, а прежде всего расчет серии вариантов для различных математических моделей.
Т.о. численные методы решение задач в последнее десятилетие благодаря совершенствованию ЭВМ получают всё большее применение в различных отраслях науки и техники.
1. Общая теоретическая часть
1.1. Действия с приближенными величинами.
Прикладные математические методы оперируют числами. Но при изучении сложных природных систем встречаются такие величины, точное значение которых неизвестно. В таких случаях принято говорить, что используются приближенные числа или величины. При работе с ними можно использовать разное число десятичных знаков. Ни к чему записывать результат измерения или вычисления с точностью, превышающей точность исходных данных или точность самого метода. Так, если расстояние между двумя точками 120м измерено с точностью 1 метр, а время 11с – с точностью 1с, то значение скорости 120/11 = 10,9м/с неправильно – следует результат округлить и записать V = 11м/с.
Как правило, если отбрасываемая цифра равна 5, первую из остающихся увеличивают на 1, за исключением того случая, когда она сама появилась в результате округления "вверх".
Приближенные числа всегда имеют некоторую погрешность, или ошибку. Различают абсолютные и относительные ошибки. Абсолютной ошибкой e' приближенной величины называют разность между ее точным (A) и приближенным (X) значениями:
e' = A – X
Размерность e' совпадает с размерностью исследуемой величины. Относительной ошибкой "e" называют отношение абсолютной ошибки к точному значению величины. Ее размерность – доли единицы или проценты. Так как точное значение, как правило, неизвестно, вместо него используют приближенное:
e = e'/X
Из сказанного следует практический вывод.
Если абсолютная ошибка приближенного числа мала по сравнению с его величиной, относительная ошибка мала по сравнению с единицей. На практике абсолютную ошибку обычно считают равной точности самого метода, так как она не может превышать последнюю. Не следует забывать также о том, что ошибка может иметь разный знак. При записи приближенного числа нужно указывать только верные цифры, а также те, которые получились в результате округления, при необходимости можно ввести множитель в виде десяти в соответствующей степени.
При измерениях физических величин неизбежны погрешности измерения
Погрешность измерения – оценка отклонения величины измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.