Методика обработки экспериментальных данных 2 (стр. 2 из 2)

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности

5. Статистическая проверка гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона или Колмагорова

Проверку проводим с помощью критерия Пирсона.

В этом задании, с помощью критерии Пирсона проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, с этой целью будем сравнивать эмпирические и теоретические частоты.

– Среднее арифметическое значение

– Количество вариантов

– Шаг интервалов

– Оценка среднеквадратического отклонения.

Вычислим данные по таблице:

I	ni	Xi		X (i+1)	Zi	Z (I+1)
1	1	-805		-780,6	-2,7340	-0,5		-0,469	3,1	1,4226	0,3226
2	1	-780,6		-756,2	-2,7340	-2,1140	-0,469		-0,408	6,1	4,2639	0,1639
3	4	-756,2		-731,8	-2,1140	-1,4941	-0,408		-0,285	12,3	5,6008	1,3008
4	7	-731,8		-707,4	-1,4941	-0,8741	-0,285		-0,099	18,6	7,2344	2,6344
5	26	-707,4		-683	-0,8741	-0,2542	-0,099		0,1141	21,31	1,0322	31,7222
6	33	-683		-658,6	-0,2542	0,3658	0,1141		0,2939	17,98	12,5473	60,5673
7	14	-658,6		-634,2	0,3658	0,9857	0,2939		0,4131	11,92	0,3630	16,4430
8	8	-634,2		-609,8	0,9857	1,6057	0,4131		0,4713	5,82	0,8166	10,9966
9	3	-609,8		-585,4	1,6057	2,2256	0,4713		0,4927	2,14	0,3456	4,2056
10	3	-585,4		-561	2,2256	0,4927		0,5	0,73	7,0588	12,3288
СУММА	100	100	40,6851	140,6851

X²_набл=40,685

Контроль:

140,685–100=40,685

Исходя из требований, чтобы вероятность попадания критерия в критическую область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством

, а область принятия нулевой гипотезы – неравенством

Уровень значимости

= 0,05;

По таблице критических точек распределения χ² (приложение 3), по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы K=10–3=7 находим критическую точку правосторонней критической области χ²кр (0,05; 7) = 14,1.

Вывод: Так как X²_набл> X²_кр, то нулевую гипотезу отвергают, значит гипотезу о нормальном распределении отвергают.

6. Расчет асимметрии и эксцесса

Асимметрия – отношение центрального момента 3-го порядка к кубу среднего квадратического отклонения.

, где

Эксцесс – характеристика «крутости» рассматриваемой случайной величины.

, где

Значение Х_В,s вычисляем по формулам:

где С – Ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту).

где h – шаг (разность между двумя соседними вариантами);

(условный момент второго порядка);

(условный момент первого порядка);

(условная варианта).

Расчеты занесем в таблицу 7:

X_i	N_i	U_i	X_B	M₁	M₂	s	m3	m4	A_S	E_K
-805	1	-2,73	-684,67	0,30	1,06	23,97	3433,28	4193007,72	0,25	12,71
-780,6	1	-2,11
-756,2	4	-1,49
-731,8	7	-0,87
-707,4	26	-0,25
-683	33	0,37
-658,6	14	0,99
-634,2	8	1,61
-609,8	3	2,23
-585,4	3	2,85

Вывод:

Т.к. асимметрия положительна то ‘длинная часть’ кривой распределения расположена справа от математического ожидания или мода.

Т.к. Эксцесс больше нуля, то кривая распределения имеет более высокую и ‘острую’ вершину, чем нормальная кривая.

7. Построение доверительного интервала для математического ожидания и среднего квадратического отклонения

Доверительный интервал для математического ожидания (с вероятностью g) находят как:

(7.1)

где n – объем выборки;

t_g – случайная величина имеющее распределение Стьюдента находим по приложению 1.

s – исправленное среднее квадратическое отклонение;

– выборочное среднее;

Найдем интервал:

по приложению 1 находим t_g= 1.984 при g=0.95 и n = 100;

=-684,67; s = 38,19;

Получаем

-692,25<a<-677.09

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения

(с надежностью g) находят как:

при q<1 (7.2)

при q>1 (7.3)

где q находят по приложению 2, по заданным n и g;

Исходя из приложения 2, n = 100 и g = 0.95 находим q=0.143;

Поэтому интервал находим по формуле (7.2):

32.73 <

< 43.65

Вывод:

Итак, с надежностью 0,95 неизвестное математическое ожидание ‘а’ находится в доверительном интервале -692,25<a<-677.09, а неизвестное среднее квадратическое отклонение ‘’ находиться в доверительном интервале 32.73 <

< 43.65.

Вывод

Для представления генеральной совокупности я исследовала выборку, которая имеет объём 100 элементов.

Я нашла:

размах варьирования R=244;

среднеарифметическое значение статистического ряда

=-684,67;

несмещенную оценку генеральной дисперсии s²=1458,99;

среднее квадратическое отклонение s=38,19;

медиану М_В=-689 и коэффициент вариации V=

5,58%.

С надежностью 0.95 оценил математическое ожидание в интервале

-692,25<а< -677,09

и среднее квадратическое отклонение в интервале

32,73 <

< 43,65

Выборка имеет варианты x = -731, x = -703,x = -701,x = -700,x = -697, x = -689,x = -686, x = -681, x = -667, которые встречаются 3 раза.

На рис. 1 построила гистограмму и полигон относительных частот. По рис. 1 можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

После проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона при a=0.05, я отвергла ее. Из этого следует, что расхождения между практическими и теоретическими частотами значимо.

Асимметрия a_s=0,25. Из этого следует, что правое крыло функции более вытянуто относительно ее моды.

Эксцесс e_k=12,71. Из-за того, что у эксцесса положительный знак, эмпирическая функция распределения острее по сравнению с теоретическим распределением.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2001.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

М.: Высшая школа, 2001.