Статистические методы обработки экспериментальных данных (стр. 2 из 4)
Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой
F(x)= [1/(7,33*√2π)]*e[-(x-15,9)2 / 2*(7,33)2)]=0.054*e^(0,009/((x-15,9)^2))
Теперь необходимо вычислить значения f(xi)плотности f (x) при x=xi(в серединах интервалов) Для этого воспользуемся следующей схемой:
 |
значения фунцкии
 |
при u=ui находятся, например, с помощью таблицы, имеющейся в любом учебнике или задачнике по теории вероятностей и математической статистике.
=15,9; s = 7,33 | xi | ui = xi- x / s | φ(ui) |  |
| 1,54,57,510,513,516,519,522,525,528,531,5 | -1,96 -1,56 -1.15 -0,74 -0.33 0.08 0.49 0,90 1.31 1,72 2.13 | 0,0584 0,1182 0,2059 0,3034 0,3778 0,3977 0,3538 0,2661 0,1691 0,0909 0,0413 | 0,008 0,016 0,028 0,041 0,052 0,054 0,048 0,036 0,023 0,012 0,006 |
Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (xi ; f(xi)) и соединяем их плавной кривой.
5.Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона.
Ранее была выдвинута гипотеза о законе распределения рассматриваемой случайной величины. Сопоставление статистического распределения (гистограмма) и предполагаемого теоретического (графика плотности) показывает наличие некоторых расхождений между ними. Поэтому возникает естественный вопрос: чем объясняются эти несовпадения? Ответить на него можно двояко:
1) Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т.п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.
2) Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся данными наблюдений.
Для выбора первого или второго варианта ответа и служат так называемые критерии согласия. Словари толкуют слово критерий (от греч. kriterion – средство для суждения) как признак, на основании которого производится оценка, определение и классификация чего-либо.
Существуют различные критерии согласия: К. Пирсона, А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского и другие. Мы рассмотрим лишь один из них – критерий Пирсона, называемый также критерием c2 («хи - квадрат»). (К. Пирсон (1857 - 1936) – английский математик, биолог, философ – позитивист.)
Критерий Пирсона выгодно отличается от остальных, во – первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и, во – вторых, простотой вычислительного алгоритма.
Правило проверки статистических гипотез с помощью критерия Пирсона будет объяснено на примерах.
Группировка исходных данных.
Применяется критерий Пирсона к сгруппированным данным. Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через nIколичество результатов измерений (значений случайной величины), попавших в i-й промежуток. Очевидно, что ånI = n.
Отметим, что критерий c2 будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:
1) количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n³100;
2) в каждом промежутке окажется не менее 5…10 результатов измерений, т.е. ni³5 при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.
Пусть концами построенного разбиения являются точки zi , где z1<z2< … <zi – 1 , т.е. само разбиение имеет вид
(- ¥ºz0; z1) , [z1; z2) , [z2; z3) , … , [zi – 1; ziº+¥).
После объединения соответствующих промежутков (последних двух) и замены самой левой границы разбиения на - ¥, а самой правой на + ¥ (поскольку на промежутки должна разбиваться вся числовая ось, а не только диапазон полученных в результате опыта значений), мы приходим к следующим интервальным распределениям, пригодным для непосредственного применения критерия Пирсона:
| zi –1; zi | - ¥; 6 | 6;9 | 9;12 | 12;15 | 15;18 | 18;21 |
| ni | 10 | 9 | 11 | 14 | 18 | 13 |
| 21;24 | 24;27 | 27;30 | 30;+∞ |
| 11 | 7 | 4 | 3 |
Вычисление теоретических частот.
Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических (опытных) частот с теоретическими. Эмпирические частоты nI определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты, обозначаемые далее
, находятся с помощью равенства = n×pi,где n – количество испытаний, а piºR(zi –1<x<zi) - теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в i-й промежуток (1 £i£ 1).Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины.
 |
Процедура отыскания теоретических вероятностей и частот показана в расчетной таблице: _
n = 100; а=x= 15,9; σ= s=7,33
| i | Концы промежутков | Аргументы фунцкции Ф0 | Значения функции Ф0 | Pi= Ф0(ui)- Ф0(ui-1) | ν1’=npi | |||
| zi -1 | zi | Ui-1= (zi-1-x)/s | Ui= (zi-x)/s | Ф0(ui-1) | Ф0(ui) | |||
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | -∞ 6 9 12 15 18 21 24 27 30 | 6 9 12 15 18 21 24 27 30 +∞ | -∞-1,35-0,94-0,53-0,120,290,701,111,511,92 | -1,35-0,94-0,53-0,120,290,701,111,511,92+∞ | -0,5000 -0,4115 -0,3264 -0,2019 -0,0478 0,1141 0,2580 0,3665 0,4345 0,4726 | -0,4115 -0,3264 -0,2019 -0,0478 0,1141 0,2580 0,3665 0,4345 0,4726 0,5000 | 0,0885 0,0851 0,1245 0,1541 0,1619 0,1439 0,1085 0,0680 0,0381 0,0274 | 8,85 8,51 12,45 15,41 16,19 14,39 10,85 6,80 3,81 2,74 |
å:1,0000100,00
Статистика c2 и вычисление ее значения по опытным данным.
Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределения.