Смекни!
smekni.com

Оценка погрешностей измерений (стр. 1 из 3)

Министерство образования и науки РФ

ГОУ ВПО

Саратовский государственный технический университет

Кафедра «Электронные приборы и устройства»

Курсовая работа на тему:

«Оценка погрешностей измерений»

Саратов 2010


Задание к курсовой работе

Заданная выборка имеет вид:

72,9137 72,2243 73,2806 732304 75,6094
73,3917 72,5557 74,4357 72,448 72,325
70,5713 72,6716 71,0304 70,5799 71,767
71,6886 73,5431 72,9935 73,2538 72,9033
74,2542 72,959 73,0988 72,738 73,08
70,3713З 74.9595 71,5632 73,943 74,5532
73.5407 71,1872 71,4221 71,2018 74,2139
73,8979 75,7989 71,4815 72,0882 70,1388
73,9814 73,1069 74,173 74,5629 73,654
73,0471 72,372 72,5726 70,7069 73,1002
73,9612 73.7216 73,1189 72,1772 71,1006
70,5482 73,8402 74,6359 72,7028 73,4373
74,3261 73,5181 72,0133 71,2549 75,4085
73,4603 72,1824 71,8583 72,2526 73,2037
72,6318 72,7662 72,685 73,8493 74,747
71,4287 70,565 74,7288 75,21 71,6711
72.9558 73,223 74,1516 74,1286 72,7163
72,1847 73,0784 72,5307 74,216 71,9055
72,2845 71,7841 72,27 71,1639 74,0282
73,3143 74,2181 73,4217 70,8937 74,6933

Необходимо исследовать методы определения погрешностей и методы статистической оценки распределений. Провести расчеты по заданной выборке. При анализе выборки необходимо рассмотреть следующие параметры:

·объем выборки;

·интервальный статистический ряд и частности для каждого интервала;

·медиану распределения;

·размах вариации;

·выборочное среднее;

·выборочную дисперсию;

·среднеквадратическое отклонение;

·эмпирическую функцию распределения.

Так же рекомендуется выдвинуть гипотезу о виде распределения и провести проверку данной гипотезы.

Введение

При практическом использовании тех или иных измерений важно оценить их точность. Термин "точность измерений", т. е. степень приближения результатов измерения к некоторому действительному значению, не имеет строгого определения и используется для качественного сравнения измерительных операций. Для количественной оценки используется понятие "погрешность измерений" (чем меньше погрешность, тем выше точность). Понятие "погрешность" — одно из центральных в метрологии, где используются понятия "погрешность результата измерения" и "погрешность средства измерения". Погрешность результата измерения — это разница между результатом измерения Xи истинным (или действительным) значением Qизмеряемой величины. Она указывает границы неопределенности значения измеряемой величины. Погрешность средства измерения — разность между показанием средства измерения и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины. Она характеризует точность результатов измерений, проводимых данным средством.

Оценка погрешности измерений — одно из важных мероприятий по обеспечению единства измерений. Количество факторов, влияющих на точность измерения, достаточно велико, и любая классификация погрешностей измерения в известной мере условна, так как различные погрешности в зависимости от условий измерительного процесса проявляются в различных группах. По характеру проявления погрешности делятся на случайные, систематические, прогрессирующие и грубые (промахи).

Оценивание погрешностей производится с целью получения объективных данных о точности результата измерения. Погрешность измерения описывается определенной математической моделью, выбор которой обуславливается имеющимися априорными сведениями об источниках погрешности, а также данными, полученными в ходе измерений. С помощью выбранной модели определяются характеристики и параметры погрешности, используемые для количественного выражения тех или иных ее свойств.

В основу выбора оценок погрешностей положен ряд принципов. Во-первых, оцениваются отдельные характеристики и параметры выбранной модели погрешности. Это связано с тем, что модели погрешностей, как правило, сложны и описываются многими параметрами. Определение их всех весьма затруднительно, а иногда и невозможно. Кроме этого, в большинстве практических случаев полное описание модели погрешности содержит избыточную информацию, в то время как знание отдельных ее характеристик вполне достаточно для достижения цели измерения. Во-вторых, оценки погрешности определяют приближенно, с точностью, согласованной с целью измерения. Это обусловлено тем, что погрешности определяют лишь зону неопределенности результата измерения и их не требуется знать очень точно. В-третьих, погрешности оцениваются сверху, поэтому погрешность лучше преувеличить, чем преуменьшить, так как в первом случае снижается качество измерений, а во втором — возможно полное обесценивание результатов всего измерения. В-четвертых, поскольку стремятся получить реалистические значения оценки погрешности результата измерения, т.е. не слишком завышенные и не слишком заниженные, точность измерений должна соответствовать цели измерения. Излишняя точность ведет к неоправданному расходу средств и времени. Недостаточная точность в зависимости от цели измерения может привести к признанию годным в действительности негодного изделия, к принятию ошибочного решения и т. п.


Элементы теории

В основе любых измерений лежат прямые измерения, в ходе которых находят некоторое числовое значение физической величины. Каждая такая измерительная операция называется наблюдением, а получаемое при этом значение физической величины – результатом наблюдения. Получаемый опытным путем результат наблюдения подвержен случайным отклонениям от истинного значения физической величины. Такой заранее непредсказуемый в каждом данном наблюдении результат является случайной величиной. Многократное повторное проведение опыта позволяет установить статистические закономерности, которым удовлетворяет данная случайная величина.

При каждом наблюдении мы получаем некоторое возможное значение физической величины. Всё множество возможных значений измеряемой величины, которые она может принимать в эксперименте, называется генеральной совокупностью. Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Большинство физических величин имеет непрерывный набор возможных значений, множество которых является бесконечным. Говорят, что такие величины имеют генеральную совокупность бесконечного объёма.

Генеральная совокупность несет полную информацию об измеряемой величине и позволяет (в отсутствие невыявленных систематических погрешностей), несмотря на случайный характер результатов отдельных наблюдений, найти истинное значение x0 физической величины. В случае физической величины с непрерывным набором значений для нахождения её истинного значения необходимо провести бесконечное число наблюдений, что невозможно. Поэтому на практике ограничиваются конечным числом наблюдений (от единиц до нескольких десятков). Полученный при этом ряд значений физической величины: x1, x2, ... xNназывают выборкой из генеральнойсовокупности или просто выборкой.

Ввиду ограниченного числа наблюдений в выборке, по ней нельзя найти ни истинного значения измеряемой величины, ни истинной погрешности измерения, и задача сводится к нахождению по выборке наилучших выборочных оценок (наилучших приближенных значений) истинного значения и истинной погрешности измерения.

Чтобы получить представление о законе распределения измеряемой величины, производят группировку данных. Для этого весь интервал значений величины от xminдо xmax(рис. 2.1) разбивают на несколько равных интервалов, называемых интервалами группировки данных, шириной Д и центрами xk, так что k-й интервал (k=1, 2…K) имеет границы (xk– Д /2, xk+ Д /2). Далее, распределяют значения x1 по интервалам. Число точек Nk, оказавшихся внутри k-го интервала, даёт число попаданий измеряемой величины в этот интервал. Общее число точек, оказавшихся внутри всех интервалов разбиения, должно быть равно полному числу Nрезультатов наблюдений в исходной выборке.

Над каждым интервалом Дkстроится прямоугольник высотой

fk= Nk/(NД),

где N – общее число наблюдений. Совокупность таких прямоугольников называется гистограммой.

При построении гистограмм интервалы разбиения не следует брать очень большими или очень маленькими. Так, в первом случае прямоугольники на гистограмме будут иметь примерно одинаковую высоту, а во втором – могут появиться интервалы, в которые не попадет ни одного значения случайной величины. В последнем случае внутри гистограммы будут просветы. Такие гистограммы не дают представления о законе распределения случайной величины.

Высоты и площади прямоугольников на гистограмме имеют следующий смысл. Учитывая, что относительные частоты


Pk= Nk/N

приближенно равны вероятности попадания результата каждого отдельного наблюдения в данный интервал, высота каждого прямоугольника на гистограмме

fk= Nk/NД= Рk

есть вероятность, приходящаяся на единицу длины интервала разбиения или плотность вероятности попадания случайной величины в интервал Дkс центром в точке xk.

Площадь каждого прямоугольника

fkД= Nk/N= Рk

есть вероятность попадания результата в интервал Дk.. Сумма площадей прямоугольников, основания которых находятся внутри некоторого интервала [x1,x2], равна вероятности для каждого отдельного наугад взятого результата попасть в этот интервал.