Законы распределения случайных величин и их применение (стр. 2 из 3)

,

где

обозначает наибольшее целое, не превосходящее число y, или в виде неполной бета-функции: .

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

,

откуда

,

,

а дисперсия случайной величины.

.

Свойства биномиального распределения

Пусть

и . Тогда .

Пусть

и . Тогда .

Связь с другими распределениями:

Если n = 1, то, очевидно, получаем распределение Бернулли.

Если n большое, то в силу центральной предельной теоремы

, где N(np,npq) — нормальное распределение с математическим ожиданием np и дисперсией npq.

Если n большое, а λ — фиксированное число, то

, где P(λ) — распределение Пуассона с параметром λ.

4. Закон Пуассона

Второй предел биноминального распределения, представляющий практический интерес, относится к случаю, когда при неограниченном увеличении числа испытаний математическое ожидание остается постоянным:

Если при

, , то перейдя к противоположному событию, мы получим тот же случай. Полагая m << n, получим при

Следовательно,

Полученное распределение вероятностей случайной величины называется законом Пуассона.

Распределение Пуассона имеет максимум вблизи

(знак [x] обозначает целую часть числа x, меньшую или равную x).

Числовые характеристики распределения:
Математическое ожидание

Дисперсия

Распределение Пуассона играет важную роль для описания "редких" событий в физике, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. – там, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий ( радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т.п.).

5.Нормальное распределение

Нормальное распределение – это наиболее важный вид распределения в статистике.

Нормально распределяются значения признака под воздействием множества различных причин, которые практически не взаимосвязаны друг с другом и влияние каждой из которых сравнительно мало, по сравнению с действием всех остальных факторов.

Нормальное распределение отражает вариацию значений признака у единиц однородной совокупности. Подобное распределение наблюдается преимущественно в естественно-научных испытаниях (измерение роста, веса).

В социально-экономических явлениях нормального распределения данные встречаются редко. Здесь всегда присутствуют причины существенным образом влияющие на уровень изучаемого признака (результат управленческого воздействия).

Тем не менее, гипотеза о нормальном распределении исходных данных лежит в основе методологии анализа взаимосвязей выборочного метода и многих других статистических методов.

При достаточно большом числе испытаний нормальная кривая служит пределом, к которому стремятся многие виды распределения, в том числе биномиальное и гипергеометрическое.

Говорят, что случайная величина

нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, если ее плотность распределения имеет вид (3)

где a - любое действительное число, а

>0. Смысл параметров a и будет установлен в дальнейшем. Исходя из связи между плотностью распределения и функцией распределения , имеем

График функции

симметричен относительно прямой x=a. Несложные исследования показывают, что функция достигает максимума при x=a, а ее график имеет точки перегиба при и . При график функции асимптотически приближается к оси Ox. Можно показать, что при увеличении кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При a=0 осью симметрии является ось Oy. На рис. 3 изображены два графика функции y= . График I соответствует значениям a=0, =1, а график II - значениям a=0, =1/2.

Покажем, что функция

удовлетворяет условию, т.е. при любых a и выполняется соотношение

В самом деле, сделаем в этом интеграле замену переменной, полагая

. Тогда

В силу четности подинтегральной функции имеем

Следовательно,

Но,

В результате получим

(4)

Найдем вероятность

. По формуле имеем

Сделаем в этом интеграле замену переменной, снова полагая

Тогда

, и
(5)

Как мы знаем, интеграл

не берется в элементарных функциях. Поэтому для вычисления определенного интеграла (5) вводится функция (6)
называемая интегралом вероятностей. Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента (см. табл. II Приложения). Используя формулу (6) получим

Итак,

(7)

Легко показать, что функция Ф(х) (интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.

1°.

2°.

; при величина практически равна 1/2 (см. табл. II).