Случайные величины (стр. 11 из 13)
Выражение (43.2) для 
можно представить через начальные моменты 
, 
. Из определения следует:
.
Аналогично центральный момент третьего порядка
.
Пусть случайная величина 
имеет плотность вероятности:
, (43.6)
(распределение Рэлея), тогда вычисление 
и подстановка в (43.2) приводит к результату 
.
Плотность вероятности с 
имеет более тяжелый «хвост» в области больших положительных аргументов, и наоборот, при 
более тяжелым является «хвост» плотности в области отрицательных аргументов.
Коэффициент эксцесса
Характеристикой степени сглаженности вершины плотности вероятности является число
, (43.1)
называемое коэффициентом эксцесса.
Определим 
для нормального распределения. Поскольку 
, то осталось вычислить
.
Пусть 
, тогда
.
Вычислим интеграл способом «по частям»:
.
Таким образом, 
. Подставим полученные результаты в (43.6), тогда 
.
Если 
, то плотность вероятности имеет более высокую и более острую вершину, чем кривая плотности нормального распределения с той же дисперсией. Если 
, то вершина плотности распределения более плоская, чем у нормального распределения.
Среднеквадратическая ошибка
Пусть 
- неизвестный параметр (число), характеризующий состояние системы. Для определения параметра проводится опыт (измерение). Ситуация осложняется тем, что в процессе измерения на величину накладывается помеха. Таким образом, измерению подлежит не число , а некоторая случайная величина 
, значения которой в каждом опыте точно предсказать невозможно.
Случайную величину будем называть оценкой параметра . Тогда 
- ошибка, также случайная величина. Характеристикой качества оценки является ее среднеквадратическая ошибка
. (45.1)
Преобразуем это выражение:
(45.2)
Величина 
- детерминированная, поэтому ее можно вынести за оператор 
, следовательно, второе слагаемое
Первое слагаемое (45.2) по определению
- дисперсия случайной величины . Введем обозначение
. (45.3)
Число 
называется смещением оценки . Таким образом, из (45.2) следует
(45.4)
- среднеквадратическая ошибка является суммой двух неотрицательных слагаемых. Первое из них – дисперсия, или случайная (стохастическая) компонента ошибки, а второе – квадрат смещения – систематическая ошибка. Если 
, то оценка называется несмещенной.
Пусть случайная величина - имеет плотность вероятности 
. Тогда процедуре измерения можно дать геометрическую интерпретацию. На рис. 45.1 представлен график плотности вероятности оценки и показана систематическая ошибка 
, и случайная ошибка 
.
Рис. 45.1. Плотность вероятности оценки,
случайная и систематическая части ошибки.
Очевидно, идеальная процедура измерения (с нулевой среднеквадратической ошибкой) – это процедура, для которой плотность близка к функции 
. Тогда 
, точка 
, а эффективная ширина 
.
Характеристическая функция
Характеристической функцией случайной величины называется функция
, 
. (46.1)
Пусть - непрерывная случайная величина с плотностью вероятности , тогда ее характеристическая функция
(46.2)
- является интегральным преобразованием, которое называется преобразованием Фурье от плотности вероятности . Известно, что преобразование Фурье является взаимно однозначным. Поэтому существует обратное преобразование, которое определяет плотность вероятности через характеристическую функцию 
. Это преобразование имеет вид
. (46.3)
Соотношения (46.2) и (46.3) образуют пару преобразований Фурье.
Для дискретной случайной величины , принимающей значения 
с вероятностями 
характеристическая функция, как следует из (46.1), имеет вид
. (46.4)
Характеристическая функция является полной вероятностной характеристикой случайной величины, также как и функция распределения 
или плотность вероятности . Смысл введения характеристической функции в теории вероятности состоит в том, что имеется класс задач, которые относительно просто решаются с применением преобразования Фурье от плотности вероятности. Роль этого преобразования оказалась столь велика, что в теории появился специальный термин «характеристическая функция» для обозначения этого преобразования.