Выражение (43.2) для

можно представить через начальные моменты

,

. Из определения следует:

.
Аналогично центральный момент третьего порядка

.
Пусть случайная величина

имеет плотность вероятности:

, (43.6)
(распределение Рэлея), тогда вычисление

и подстановка в (43.2) приводит к результату

.
Плотность вероятности с

имеет более тяжелый «хвост» в области больших положительных аргументов, и наоборот, при

более тяжелым является «хвост» плотности в области отрицательных аргументов.
Характеристикой степени сглаженности вершины плотности вероятности является число

, (43.1)
называемое коэффициентом эксцесса.
Определим

для нормального распределения. Поскольку

, то осталось вычислить

.
Пусть

, тогда

.
Вычислим интеграл способом «по частям»:

.
Таким образом,

. Подставим полученные результаты в (43.6), тогда

.
Если

, то плотность вероятности имеет более высокую и более острую вершину, чем кривая плотности нормального распределения с той же дисперсией. Если

, то вершина плотности распределения более плоская, чем у нормального распределения.
Пусть

- неизвестный параметр (число), характеризующий состояние системы. Для определения параметра

проводится опыт (измерение). Ситуация осложняется тем, что в процессе измерения на величину

накладывается помеха. Таким образом, измерению подлежит не число

, а некоторая случайная величина

, значения которой в каждом опыте точно предсказать невозможно.
Случайную величину

будем называть оценкой параметра

. Тогда

- ошибка, также случайная величина. Характеристикой качества оценки

является ее среднеквадратическая ошибка

. (45.1)
Преобразуем это выражение:

(45.2)
Величина

- детерминированная, поэтому ее можно вынести за оператор

, следовательно, второе слагаемое
Первое слагаемое (45.2) по определению
- дисперсия случайной величины

. Введем обозначение

. (45.3)
Число

называется смещением оценки

. Таким образом, из (45.2) следует

(45.4)
- среднеквадратическая ошибка является суммой двух неотрицательных слагаемых. Первое из них – дисперсия, или случайная (стохастическая) компонента ошибки, а второе – квадрат смещения – систематическая ошибка. Если

, то оценка

называется несмещенной.
Пусть случайная величина

- имеет плотность вероятности

. Тогда процедуре измерения можно дать геометрическую интерпретацию. На рис. 45.1 представлен график плотности вероятности оценки и показана систематическая ошибка

, и случайная ошибка

.

Рис. 45.1. Плотность вероятности оценки,
случайная и систематическая части ошибки.
Очевидно, идеальная процедура измерения (с нулевой среднеквадратической ошибкой) – это процедура, для которой плотность

близка к функции

. Тогда

, точка

, а эффективная ширина

.
Характеристической функцией случайной величины

называется функция

,

. (46.1)
Пусть

- непрерывная случайная величина с плотностью вероятности

, тогда ее характеристическая функция

(46.2)
- является интегральным преобразованием, которое называется преобразованием Фурье от плотности вероятности

. Известно, что преобразование Фурье является взаимно однозначным. Поэтому существует обратное преобразование, которое определяет плотность вероятности

через характеристическую функцию

. Это преобразование имеет вид

. (46.3)
Соотношения (46.2) и (46.3) образуют пару преобразований Фурье.
Для дискретной случайной величины

, принимающей значения

с вероятностями

характеристическая функция, как следует из (46.1), имеет вид

. (46.4)
Характеристическая функция является полной вероятностной характеристикой случайной величины, также как и функция распределения

или плотность вероятности

. Смысл введения характеристической функции в теории вероятности состоит в том, что имеется класс задач, которые относительно просто решаются с применением преобразования Фурье от плотности вероятности. Роль этого преобразования оказалась столь велика, что в теории появился специальный термин «характеристическая функция» для обозначения этого преобразования.